动态规划——钢管问题（算法导论经典问题）

绪论

关于动态规划，博主尚在学习中，但总的来说动态规划和分治算法有一定的相似性，分而治之，复杂问题到简单问题的分解，而动态规划较之更为优化，在本问题当中对于动态规划的设计有两种：

1、带备忘的自顶向下法

在分治法的基础上，将每个分解到的小问题的解存储到一个数组里，等到下次调用时就可以直接利用，而不需要再算一次，从而节省了时间。

2、自底向上法

将子问题按照从小到大的顺序进行求解，每一个子问题的解都依赖与比它更小的子问题的解。

问题简述

一公司售出一段长为i英寸的钢条的价格为p[i](i=1,2,3,... ...),钢条的长度均为整英寸，下表为其价格单：

现在给定一段n英寸长的钢条，求其切割方案，使得最终价格r[n]为最大

问题分析

假设n英寸长的钢管的最优收益为r[n],未进行切割的价格为p[n],将n英寸的钢管看做两部分，一部分的长度已定为i英寸的价格p[i]，而另一部分为n-i英寸的最优收益r[n-i]，故而r[n]=max(p[n], p[1]+r[n-1] , p[2]+r[n-2],.......,p[n-1]+r[1])

譬如，已知1~3英寸的钢管的最好切割方案就是不进行切割，若现有4英寸的钢管，第一部分若为2英寸，则根据价格表可以知道其价格为5，第二部分为2英寸，由于2英寸的最佳切割方案为不切割故而其值亦为5。

问题解决

1、分治法

在函数cut_rod中传入价格表p，及要切割的尺寸n，严格按照问题分析中得到的式子r[n]=max(p[n], p[1]+r[n-1] , p[2]+r[n-2],.......,p[n-1]+r[1])，进行递归求解。

注意：p是下标从0开始的数组——q=max(q,p[i-1]+cut_rod(p,n-i))!!!

这是典型的分治算法，分而治之，由难到易！！

2、带备忘的自顶向下法

绪论中已经简单介绍了带备忘的自顶向下法，在分治法的问题分析中已经将大体思路理清楚了，观察函数cut_rod，发现，如果在函数中加入一个数组用来记录每一次递归的返回值q，即n英寸的钢管的最佳收益，等到下一次递归时，可以直接调用r数组中的值，如此一来节省了时间，这便是带备忘的自顶向下法

3、自底向上法

自底向上法的核心是子问题的由小到大的依次解决，在函数bottm_up_cut_rod中，我们依旧传入价格表数组p，与需要计算的英寸数。重点部分在于最佳受益数组r的设定。

在自底向上的过程中，每一个子问题的解决都依赖于比它更小的子问题，那么，我们便从最小子问题开始求解，故而设定了一个双重循环，以此来求出r数组中的每一个值。

：博主只是个初学者，以上只是个人观点，如有不清楚的，或者有错误的希望大家能够指出或者私信，3Q，么么哒