杨氏矩阵的算法问题

1.查找给定的一个数是否在杨氏矩阵中？

在一个m行n列二维数组中，每一行都按照从左到右递增的顺序排序，每一列都按照从上到下递增的顺序排序。请完成一个函数，输入这样的一个二维数组和一个整数，判断数组中是否含有该整数。

(1)因为矩阵的行和列都是递增的，所以整个矩阵的对角线上的数字也是递增的，故我们可以在对角线上进行二分查找。

(2)定位法。首先直接定位到最右上角的元素，再配以二分查找，要找的数比当前值小就往左走，比当前值大就往下走，直到找到要找的数字为止，这个方法的时间复杂度O（m+n）。

2、给定 n×n 的实数矩阵，每行和每列都是递增的，求这 n^2 个数的中位数。

使用类似Tarjan的线性中位数的方法，每次找每列中位数，然后找中位数的中位数，之后可以(根据最后计算的中位数)删除前一半列的上半部分或者后一半列的下半部分，在剩下的数中继续找中位数。这样可以实现复杂性O(nlog2n) 。

3.更一般的结论

(1)对于一个 n×m ( n≤m )的矩阵，若每行和每列都是递增的，则可以在 O(nlog2m/n) 找到第k 大的数。这是一个O(n)算法。

(2)一堆 ni×mi ( ni≤mi )的矩阵，若每个矩阵的每行和每列都是递增的，则selection problem（即找第k 大的数）的时间复杂度为 O(∑nilog2mi/ni) 。