【胜利第一逗比中学第13届校园科技节】为科技节准备的概率小论文

埋头码字学习好几天的造物。。。为了个破科技节这么上心真是醉了=-=还特意模仿国家队队爷的论文的标准格式来写。。。

浅析概率

2014级3班  徐飞扬

摘要

概率是数学中的重点和难点，同时概率在生活中也有着极其重要的应用，本文根据我自己的理解和网络上的资料，简单分析和介绍一下概率，列举一些例题及其解答，总结一下问题的一般特点和思想。

关键字

概率 随机变量离散概率基础

目录

摘要·····································1

关键字····································1

目录·····································1

引言·····································1

正文·····································1

1.基础概念································1

2.概率的基础运算·····························2

3.古典概型································2

4.几何概型································3

5.全概率公式·······························3

6.部分题目分析······························3

小结·····································4

附录·····································4

    关于数学期望·······························4

参考资料···································5

鸣谢·····································5

引言

概率，又称或然率、机会率、机率（几率）或可能性，是概率论的基本概念。概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。越接近1，该事件更可能发生；越接近0，则该事件更不可能发生。

正文

1.基础概念

对于任意一个试验A,其所有可能出现的结果叫做基本事件，S的所有基本事件构成的集合S叫做试验A的样本空间。样本空间内的每一个结果也叫做样本点。样本空间S也叫做基本事件空间。

如果对样本空间 S 中的任意事件 e，都有唯一的实数 P(e)与之对应，则称 P(e)为样本空间S上的随机变量，其中离散型随机变量与连续型随机变量较常见。

通常一次实验中的某一事件由基本事件组成。如果一次实验中可能出现的结果有n个，即此实验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么这种事件就叫做等可能事件。

定义P（A）为事件A在实数范围内的一个映射即事件A发生的概率

定义随机事件C与A，B的关系为：A，B中有任意一个事件发生则记事件C发生，此时我们称事件C是事件A，B的并，记为P（C）=P（A∪B）

而事件A在B条件下发生的概率，我们记为P（A|B）

同一个样本空间内，有事件A和B

若事件A和B不可能同时发生，则称A和B为互斥事件,此时P（A∩B）=∅；

若事件A和B不可能同时发生，且同一时刻A和B两个事件中必定有一个事件发生，则称A和B互为对立事件。此时P（A）+P（B）=1；

概率的几个公理：

1.0≤P（A）≤1

2.P（S）=1；

3.对于互斥事件A，B，P（A∪B）=P（A）+P（B）

2.概率的基础运算

由概率的定义，我们可以得到简单概率运算公式

1.P（A∪B）=P（A）+P（B）-P(A∩B)

2.P（A∩B）=P（A)*P(B)=P（A|B）*P(B)=P(B|A)*P(A)

3.P（A | B）=P(A∩B)/P（B）=P(B|A)*P(A)/P(B)（这个公式我们称之为贝叶斯公式）

根据以上公式我们可以推出，互斥事件的加法P（A1∪A2∪...∪An）=P（A1）+P（A2）+...+P(An) 因为事件A1，A2互斥，因此Ai∩Aj=∅，故不需要再减去相交部分

3.古典概型

如果一个实验存在有限个结果，即事件的样本空间S由有限个元素或基本事件组成，那么我们称这样的则该实验中，事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数。

这样的概率是概率的古典定义

在古典概型中，如果事件的数目比较少，我们可以使用穷举法列举出其中每一个事件来计算概率，而当事件的数目比较大时，我们可以通过排列组合来辅助运算。

4.几何概型

如果试验中的结果有无限多个，且每个基本事件都是等可能的，这时古典概型显然不能用于计算某个事件的概率，由此我们得到一个新的概念：几何概型。

其基本思想是将概率抽象为平面上区域之间的交与并

我们将事件A理解为区域Ω的某一个子区域A，则A的概率与其几何度量（长度、体积、面积等）成正比，而与A本身的形状、位置是无关的，满足这样的条件的实验我们称之为几何概型。

5.全概率公式

在我们计算概率时，经常会因为样本空间过大而造成计算上的困难，这时候我们就利用贝叶斯公式将整个样本空间划分成若干个互不相交的部分B1，B2，B3...Bn，再来计算事件A在每个条件下的概率，将其累加。

这就是全概率公式的思想。具体表示方法为：

P(A)=P(A|B1)*P(B1)+P(A|B2)*P(B2)+P(A|B3)*P(B3)+...+P(A|Bn)*P(Bn);

这个公式看起来可能很复杂，但是我们看一个简单的例子就很好理解了:

小明参加某次比赛，获得一等奖、二等奖、三等奖、优胜奖的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.4在这4种情况下，小明被妈妈表扬的概率分别为1.0,0.8,0.5,0.1

则小明有可能被妈妈表扬的总概率为0.1*1.0+0.2*0.8+0.3*0.5+0.4*0.1=0.45

6.部分题目分析

1.Cows and Cars

有一个电视节目：你的面前有三个门，其中两扇门里是奶牛，另一扇门里则藏着奖品——一辆豪华小轿车。在你选择一扇门后，门并不会立即打开。这时，主持人会予以提示，具体方法是打开其中一个有奶牛的门（但是不会打开你面前的门）。接下来你有两种可能的决策：保持原先的决策，或者换成另一扇未打开的门，最终会获得你打开的门里的东西。

在这个例子里，你获得轿车的概率其实是2/3，方法是总是改变自己的选择。具体原理是：如果你选择了两头牛之一，那你一定可以换到车；如果你选择了车，那么你只能获得一头牛。故有2/3的概率从牛换到车，1/3从车换到牛。

现在我们把问题推广一下，如果有a头牛，b辆车，a+b扇门，在最终选择前主持人会替你打开c个有牛的门，则请问在“总是换门”的策略下获胜的概率

分析：在打开c个门后，还有a-c头牛，未打开的门的数量是a+b-c，其中有a+b-c-1个门可以供我们选择，换到门的概率就是可选门的数量除以可选门中有车的门的个数。

如果我们一开始就选了牛（概率为a/(a+b)）则可选门中车门有b个。这种情况的总概率为a/(a+b)*b/(a+b-c-1)

如果我们一开始选了车(概率为b/(a+b))，则可选门里有b-1辆车，概率为b/(a+b)*(b-1)/(a+b-c-1)

将以上两个式子加起来(这里是全概率公式的应用，不同条件下同一事件的概率之和)我们得到总概率为(ab+b(b-1))/((a+b)(a+b-c-1))

2.麻球繁衍

你有一坨K个毛球（<星际迷航>中的种族——译者注）。这种毛球只会存活一天。在死亡之前，一个毛球有P_i的概率生出i个毛球(i=0,1,...,n-1)。m天后所有毛球都死亡的概率是多少？（包含在第m天前全部死亡的情况）

由于每个麻球的后代独立存活互不影响，所以只需要求出一开始的1只毛球在m天后全部死亡的概率f（m）。根据全概率公式，我们有递推式

f(i)=P0+P1*f(i-1)+P2*f(i-1)²+...+Pn-1*f(i-1)^n-1

我们用P_j*f（i-1）^j表示麻球生了j个后代，他们在i-1天全部死亡。（要注意的是，这j个后代的死亡是独立的，每个后代死亡的概率都是f（i-1）。则根据乘法原理，j个后代全部死亡的概率为f（i-1）^j）。同理可得，由于一开始有k个毛球，每只毛球的死亡是独立的，则最终答案为f（m）^k。

小结

在计算概率的过程中，为了简化运算，适当的使用各种公式是必须的。

计算概率时，排列组合可以帮助我们拜托穷举，快速计算。

要注意，将样本空间划分成若干个不相交的部分这种思想非常常用，需要着重掌握。

为了简化计算，我们有时也会像《麻球繁衍》一题一样，转化为递推做法。

概率问题经常以应用的形式出现，其内涵常常十分晦涩、抽象，解决这样问题的关键是化简为繁、化抽象为形象。

本文所提到的概率只是基础中的基础，后面深入的学习还会遇到连续概率、数学期望，那些才是概率论的重点。但是，没有好的离散概率掌握作为基础，是不可能深入学习和理解概率论这样一个庞大的完整的知识体系的。

附录

关于数学期望

简单地说，某个随机变量X的数学期望EX就是所有可能出现的结果值按照概率加权的和。

例如，有一个随机变量有1/2的概率为1，1/3的概率为2，1/6的概率为3，则其期望值为1*1/2+2*1/3+3*1/6=5/3

简单介绍一下相关的公式

1.期望的线性性质有限个随机变量的和的数学期望等于每个随机变量的数学期望之和。

用公式表达就是对于随机变量X和Y，E(X+Y)=EX+EY

2.全期望公式。与全概率公式相似，把所有情况不重复的分成若干类，对于每一小类计算其期望，最后将这些期望按每一小类的概率加权求和。

参考资料

1.百度百科

2.维基百科

3.《信息学竞赛中概率问题求解初探》IOI2009冬令营论文 梅诗珂

4.《算法竞赛入门经典》刘汝佳

5.《算法竞赛入门经典训练指南》刘汝佳

6.人教版数学课本必修3，选修2-3

鸣谢

感谢谢兴宇、杨芳源、张非凡、展宇宏、刘炯楠、赵怡浩等同学对我的论文指出不足，让我能够及时改正予以完善。