智力题(一)

（一）


五个海盗抢到了100颗宝石，每一颗都一样大小和价值连城。他们决定这么分： 抽签决定自己的号码（1、2、3、4、5）
首先，由1号提出分配方案，然后大家表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的方案进行分配，否则将被扔进大海喂鲨鱼
如果1号死后，再由2号提出分配方案，然后剩下的4人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的方案进行分配，否则将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推。
条件：每个海盗都是很聪明的人，都能很理智地做出判断，从而做出选择。
问题：第一个海盗提出怎样的分配方案才能使自己的收益最大化？


>>>解：
首先五号是希望前面人全部死关独吞金币，所以如果只剩下四号和五号，五号是绝对反对四号的任何分发的，所以四号活命的唯一前提是前面还有人活着，四号绝对支持三号。如果一号和二号被丢下海死了，三号会提出100.0.0的分法，因为四号不管他怎么分都会支持，加上自己一票而过半。所以，如果一号死了，二号来分就会放弃三号讨好五号和四号，提出98.0.1.1的分法，由于对四号和五号来说，这个分法比三号的分法好一点，从而支持二号，依次推论，一号会放弃二号和五号讨好三号四号，97.0.1.2.0或者是放弃二号个四号讨好三号和五号，97.0.1.0.2这个题目的答案应该是97.0.1.0.2或者是97.0.1.2.0


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（二）


用天平（只能比较，不能称重）从一堆小球中找出其中唯一一个较轻的，使用x次天平，最多可以从y个小球中找出较轻的那个，求y与x的关系式。




>>>解：
首先想到的对半拆分，找出其中较轻的一半，然后在进行对半拆分，如此循环直到找出较轻的小球。这样得出的y与x的关系式为y = 2^x。但是，这种拆分的方式忽略了另一种情形，那就是可拆分为三份，只比较两份，定能找到较轻的那份。其思路如下：


（1）将小球拆分为个数相同的三分，找出其中任意两份进行比较。


（2）如果两份重量相等，则较轻的小球必然在第三份中，再次对第三份进行拆分比较。


（3）如果比较的其中一份较轻，则较轻的小球必然在重量较轻的小球堆了，再次对这份小球进行拆分比较。




通过上述思想，将小球拆分为3份，在相同的比较次数下，可提高小球的比较数量，因此，其y与x的关系式为：y = 3^x


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（三）


有12个小球,外形相同,其中一个小球的质量与其他11个不同，给一个天平,问如何用3次把这个小球找出来，并且求出这个小球是比其他的轻还是重。


>>>解：


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（四）


13个球一个天平，现知道只有一个和其它的重量不同，问怎样称才能用三次就找到那个球?


>>>解：注意，只是找到，而不是求出这个球并知道是重还是轻。因为12+1多了一个，所以最多只能分辨出那个球，而不能求出偏重还是偏轻。


分成4个、4个、5个，先拿两个四个上去，如果平衡，则问题出在5个那组，就在5个里任拿三个设为C1C2C3，再拿三个正常的，分别放两边，若平衡就简单啦，若不平衡，就出现C1C2C3重，或C1C2C3轻，相当于就知道那个特别的球是比较重或者比较轻啦，接下就不用说了 
如果不平衡，假设现在是A重B轻， 
取A1+A2+B1放天平一边(设为左边)， 
再取A3+A4+B2放另一边（右）， 
若平衡，就在B3/B4任拿一个跟C1上去称就行了， 
如果不平衡，那么假设 
情况一：左重 
则是A1/A2/B2有问题 
直接把A1A2放两边称，重的那个有问题，如果平 衡就是B2有问题 
情况二：右重 
就是 A3/A4/B1有问题，方法同上


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（五）


有一根27厘米的细木杆，在第3厘米、7厘米、11厘米、17厘米、23厘米这五个位置上各有一只蚂蚁。木杆很细，不能同时通过一只蚂蚁。开始时，蚂蚁的头朝左还是朝右是任意的，它们只会朝前走或调头，但不会后退。当任意两只蚂蚁碰头时，两只蚂蚁会同时调头朝反方向走。假设蚂蚁们每秒钟可以走一厘米的距离。


>>>解：
最少：11秒，不碰面 都走最近的。3 7 11 left、17 23 right
最多：24秒，3和7碰面。3 right、7 left、11 right、17 right、23 left


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（六）


有8瓶水，其中有一瓶有毒，最少尝试几次可以找出来。


条件不足，好像无解。


>>>解：
1~8转换成二进制
1 ： 000
2 ： 001
3 ： 010
4 ： 011
5 ： 100
6 ： 101
7 ： 110
8 ： 111


然后 3 只老鼠对应3位（各位，十位，百位），喝对应的位数上为1的瓶子。
讨论结果，死的记为1，活的记为0，最后得出老鼠的二进制数字，再转化成十进制即为结果。
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（七）


五只猴子分桃。半夜，第一只猴子先起来，它把桃分成了相等的五堆，多出一只。于是，它吃掉了一个，拿走了一堆； 第二只猴子起来一看，只有四堆桃。于是把四堆合在一起，分成相等的五堆，又多出一个。于是，它也吃掉了一个，拿走了一堆；.....其他几只猴子也都是这样分的。问：这堆桃至少有多少个？


分析：先给这堆桃子加上4个，设此时共有X个桃子，最后剩下a个桃子：


第一只猴子分完后还剩:(1-1/5)X=(4/5)X;
第二只猴子分完后还剩:(1-1/5)2X;
第三只猴子分完后还剩:(1-1/5)3X;
第四只猴子分完后还剩:(1-1/5)4X;
第五只猴子分完后还剩:(1-1/5)5X=(1024/3125)X;
得：a=(1024/3125)X；要使a为整数，X最小取3125，减去加上的4个，所以，这堆桃子最少有3121个。
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（八）


我们有很多瓶无色的液体，其中有一瓶是毒药，其它都是蒸馏水，实验的小白鼠喝了以后会在5分钟后死亡，而喝到蒸馏水的小白鼠则一切正常。现在有5只小白鼠，请问一下，我们用这五只小白鼠，5分钟的时间，能够检测多少瓶液体的成分？


>>>解：
2^5
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（九）


25匹赛马，5个跑道，也就是说每次有5匹马可以同时比赛。问最少比赛多少次可以知道跑得最快的5匹马。


>>>解：最多8次。
前5次大家都一样，排序后如下
A1,A2,A3,A4,A5
B1,B2,B3,B4,B5
C1,C2,C3,C4,C5
D1,D2,D3,D4,D5
E1,E2,E3,E4,E5
第六次，最大值比较，找出最快的马


第7次参加比赛的马匹为
A2 A3 B2 C2 D1 


下面就3种第7次可能的比赛结果进行分析： 
1、若第7次的比赛可能的一种结果为：
A2 A3 B2 C2 D1
此时必进入前5的是A1、A2、A3
可能进前5的是A4、A5、B1、B2、C1
则第8次为
A4、A5、B1、B2、C1
取前2名，与A1、A2、A3一直即为前5
2、若第7比赛结果为B2、A2、C2、A3、D1
此时必进入前5的是A1、B1、B2
可能进入前5的是A2、B3、B4、C1
第8次只要让这4匹马参赛就可以啦
3、若第7次比赛结果为D1、C2、A2、A3、B1
此时必进入前5的是A1、B1、C1、D1
而剩下的第5匹马只可能出现在C2、D2、E1这3匹马中，自然，让这3匹马参加第8次比赛就可以啦
总之，不管第7次的比赛结果如何，都在第8次比赛中做出适当的安排，即而可以在8次比赛后确定跑得最快的前5匹马。


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（十）


宿舍内5个同学一起玩对战游戏。每场比赛有一些人作为红方，另一些人作为蓝方。请问至少需要多少场比赛，才能使任意两个人之间有一场红方对蓝方和蓝方对红方的比赛？


>>>解：4场。
一次划分中，某方可以有1人，另一方有4人或某方有2人，另一人有3人。


要使任意两个人之间有一场红方对蓝方和蓝方对红方的比赛，假设5个同学为A,B,C,D,E，相当有有向图的5个节点，任意两个节点间有两个方向的边连接。


即总的节点关系有(5个节点中选取两个节点)A(5,2)=5*4=20个关系。


而一次比赛（一次划分）能够生成的关系(一方两人一方三人的划分)c(2,1)*c(3,1)=2*3=6或者（一方四人一方一人的划分)c(4,1)*(c(1,1)=4*1=4,


所以一场比赛(一次划分)最多生成的关系次数为6


所以需要20/6=3.33..即至少需要4场比赛


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（十一）


单词博弈


甲乙两个人用一个英语单词玩游戏。两个人轮流进行，每个人每次从中删掉任意一个字母，如果剩余的字母序列是严格单调递增的（按字典序a < b < c <....<z)，则这个人胜利。两个人都足够聪明（即如果有赢的方案，都不会选输的方案 ），甲先开始，问他能赢么？


例如: 输入 bad， 则甲可以删掉b或者a,剩余的是ad或者bd，他就赢了，输出1。 又如: 输入 aaa， 则甲只能删掉1个a，乙删掉一个a,剩余1个a，乙获胜，输出0。


>>>解：算法实现。


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(1) 据说有人给酒肆的老板娘出了一个难题：此人明明知道店里只有两个舀酒的勺子，分别能舀7两和11两酒，却硬要老板娘卖给他2两酒。聪明的老板娘毫不含糊，用这两个勺子在酒缸里舀酒，并倒来倒去，居然量出了2两酒，聪明的你能做到吗？


7/11 = 7
14/11 = 3
21/11 = 10
28/11 = 6
35/11 = 2 (√)


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(2) 如果你有无穷多的水，一个3公升的提捅，一个5公升的提捅，两只提捅形状上下都不均匀，问你如何才能准确称出4公升的水？


1+3 = 4 只需要能求出1公升即可 


5/3 = 2
10/3 = 1 (√)


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