USACO 1.3. Prime Cryptarithm 牛式

描述

下面是一个乘法竖式，如果用我们给定的那n个数字来替代*，可以使式子成立的话，我们就叫这个式子牛式。

          ***    x      **   ----------          ***         ***   ----------         ****

数字只能取代*，当然第一位不能为0,况且给定的数字里不包括0。

注意一下在美国的学校中教的“部分乘积”，第一部分乘积是第二个数的个位和第一个数的积，第二部分乘积是第二个数的十位和第一个数的乘积.

写一个程序找出所有的牛式。

[编辑]格式

PROGRAM NAME: crypt1

INPUT FORMAT:

(file crypt1.in)

Line 1:数字的个数n。

Line 2:N个用空格分开的数字（每个数字都属于{1,2,3,4,5,6,7,8,9}）。

OUTPUT FORMAT:

(file crypt1.out)

共一行，一个数字。表示牛式的总数。

[编辑]SAMPLE INPUT

52 3 4 6 8

[编辑]SAMPLE OUTPUT

1

[编辑]样例分析

          222    x      22   ----------          444         444   ----------         4884

注意：结果只能为4位

解题思路：

可以用用哈希表设计O(1)的穷举法.

两个乘数的位数是固定的，第一个数一定是100到999之间，第二个数只能是10到99之间。
既然如此，那么我们完全没有必要用DFS去按数位搜索，直接穷举100到999间的所有数以及10到99间的所有数。
然后计算乘积与两个分部乘积，判断乘积是否为四位数（是否在1000到9999之间），以及两个分部乘积的位数是否符合要求。
再判断他们是否由给定的数字组成，如果上面的判断都通过了，则计数器加1。
穷举的个数是常数，第一个数有900种可能，第二个数有90种可能，一共有81000种可能。判断是否由给定数字组成的时间复杂度是O(n)。故整个算法的时间复杂度是O(81000n)=O(n)。
然而这还有改进的余地，将可使用数字存在哈希表而不是线性表里。
定义hash[i]:
如果数字i是可以被使用的，则hash[i]=1否则为0。
利用这hash结构，要判断一个固定位数的数是否由给定数字组成，复杂度为O(1)。
故整个算法的时间复杂度也是O(1)。 

代码：

/*ID: wikioi_2LANG: C++PROG: crypt1*/# include<cstdio># include<iostream>using namespace std;int hash[10];int check ( int x )    {        while (x)            {                if (!hash[x%10])                    return 1;                    x = x/10;            }            return 0;    }int main(void){    freopen("crypt1.in","r",stdin);    freopen("crypt1.out","w",stdout);    int sum = 0;    int n;cin>>n;    int t;    for ( int i = 0;i < n;i++ )        {            cin>>t;            hash[t] = 1;        }    for ( int i = 100;i < 1000;i++ )        {            if ( check(i))                continue;            for ( int j = 10;j < 100;j++ )                {                    int m = i*j;                    if ( m>9999 )break;                    if ( check(j)||check(m))                        continue;                    int fm = (j%10)*i;                    if ( fm<100||fm>=1000 )                        continue;                    int sm = (j/10)*i;                    if ( sm<100||sm>=1000 )                        continue;                    if ( check(sm)||check(fm) )                        continue;                    //if ( m == sm*10+fm )                        sum++;                }        }    cout<<sum<<endl;    return 0;}