projecteuler486题F5(n)的实现

来源：互联网发布：sql 表的别名编辑：程序博客网时间：2024/06/08 18:53

Let F₅(n) be the number of strings s such that:

s consists only of '0's and '1's,
s has length at most n, and
s contains a palindromic substring of length at least 5.

For example, F₅(4) = 0,F₅(5) = 8, F₅(6) = 42 and F₅(11) = 3844.

Let D(L) be the number of integers n such that5 ≤ n ≤ L and F₅(n) is divisible by 87654321.

For example, D(10⁷) = 0and D(5·10⁹) = 51.

Find D(10¹⁸).

一样来理一下题目意思：

F5(n)代表这样符合以下条件的字符串个数：

1. 字符串由0和1组成；

2. 字符串最长为n；

3. 字符串中拥有大于5的长度的回文；

现在我求这个F5(n)：

我是用动态规划实现对这个函数的求解的，以下是理论支持：

我们设一个函数f(x)，它代表的是长度为x的字符串中符合上述条件的字符串个数。接下来我们找到f(x)与f(x-1)的关系：

1. 当长度为x-1的字符串符合上述条件时，在后面加个0或者1也符合；

2. 剩下的情况就是当长度为x-1的字符串不符合上述条件时，在后面加个0或者1使最后5位或者6位构成回文。(7位以上回文不给予考虑，因为当x长度的字符串最后n位为回文时，那么它前面x-1位的字符串后面n-2位也必为回文，7位以上时其前x-1位的最后回文必为5位以上，与“当长度为x-1的字符串不符合上述条件时”前提条件不符合)。

那么剩下就好办了，要记录f(x-1)的最后4个字符的信息和最后5个字符的信息，因为只和前一项有关，所以用四个数组，两个用于记录x-1项最后4个字符每一种情况字符串的个数和最后5个字符每一种情况字符串的个数，剩下两个用于x项，两两交替使用就可以了。

剩下的就是求和了：

F5(n)= f(5)+ f(6)+ f(7)+…+ f(n)

以下是我Java代码的实现

import java.util.Scanner;public class x486 {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubScanner sc=new Scanner(System.in);int i,j,n,nnum,sum=8,a1[],a2[],b1[],b2[],x11[]={15,13,10,8},x10[]={7,5,2,0},x21[]={25,22,16},x20[]={15,9,6};n=sc.nextInt();a1=new int[16];a2=new int[32];b1=new int[16];b2=new int[32];for(i=0;i<16;i++){a1[i]=0;b1[i]=0;}for(i=0;i<32;i++){a2[i]=0;b2[i]=0;}a1[15]=1;a1[11]=1;a1[5]=1;a1[1]=1;a1[14]=1;a1[10]=1;a1[4]=1;a1[0]=1;a2[31]=1;a2[27]=1;a2[21]=1;a2[17]=1;a2[14]=1;a2[10]=1;a2[4]=1;a2[0]=1;for(j=6;j<n+1;j++){if(j%2==0){for(i=0;i<16;i++){b2[i*2]+=a1[i];b2[i*2+1]+=a1[i];b1[i%8*2]+=a1[i];b1[i%8*2+1]+=a1[i];}for(i=0;i<4;i++){b2[x11[i]*2+1]+=(int) (Math.pow(2,j-5)-a1[x11[i]]);b1[x11[i]%8*2+1]+=(int) (Math.pow(2,j-5)-a1[x11[i]]);b2[x10[i]*2]+=(int) (Math.pow(2,j-5)-a1[x10[i]]);b1[x10[i]%8*2]+=(int) (Math.pow(2,j-5)-a1[x10[i]]);}for(i=0;i<3;i++){b2[x21[i]%16*2+1]+=(int) (Math.pow(2,j-6)-a2[x21[i]]);b1[x21[i]%8*2+1]+=(int) (Math.pow(2,j-6)-a2[x21[i]]);b2[x20[i]%16*2]+=(int) (Math.pow(2,j-6)-a2[x20[i]]);b1[x20[i]%8*2]+=(int) (Math.pow(2,j-6)-a2[x20[i]]);}for(i=0;i<16;i++){a1[i]=0;}for(i=0;i<32;i++){a2[i]=0;}nnum=0;for(i=0;i<16;i++){nnum=nnum+b1[i];}sum=sum+nnum;}else{for(i=0;i<16;i++){a2[i*2]+=b1[i];a2[i*2+1]+=b1[i];a1[i%8*2]+=b1[i];a1[i%8*2+1]+=b1[i];}for(i=0;i<4;i++){a2[x11[i]*2+1]+=(int) (Math.pow(2,j-5)-b1[x11[i]]);a1[x11[i]%8*2+1]+=(int) (Math.pow(2,j-5)-b1[x11[i]]);a2[x10[i]*2]+=(int) (Math.pow(2,j-5)-b1[x10[i]]);a1[x10[i]%8*2]+=(int) (Math.pow(2,j-5)-b1[x10[i]]);}for(i=0;i<3;i++){a2[x21[i]%16*2+1]+=(int) (Math.pow(2,j-6)-b2[x21[i]]);a1[x21[i]%8*2+1]+=(int) (Math.pow(2,j-6)-b2[x21[i]]);a2[x20[i]%16*2]+=(int) (Math.pow(2,j-6)-b2[x20[i]]);a1[x20[i]%8*2]+=(int) (Math.pow(2,j-6)-b2[x20[i]]);}for(i=0;i<16;i++){b1[i]=0;}for(i=0;i<32;i++){b2[i]=0;}nnum=0;for(i=0;i<16;i++){nnum=nnum+a1[i];}sum=sum+nnum;}}System.out.print(sum);}}

目前我把函数F₅(n)的输出就实现了，剩下的工作数量级太大pass了，如有想法的人请与我交流下。

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