矩阵初步

开始很认真地写的这篇呢， 然后发现 所有我插入的公式什么的图全部都被吞了。。。。。泪泪泪 %>_<% 

~~~~(>_<)~~~~  好伤心啊

不过我这次明白这里写博客 使用 图片的时候直接贴上去是不行的， 要上传一下。（雾

【几个小定义】：转置就是交换一个矩阵的行和列。

的转置为

对角矩阵： 顾名思义。

单位矩阵： 对角元素均为1 的对角矩阵。

三对角矩阵： 满足当|i - j| > 1 时， Aij = 0， 形如： 

上三角与下三角矩阵： 顾名思义。

排列矩阵： 每一行和每一列都有且仅有一个元素为1

                      设有一个排列矩阵为P， 那么A * P 是交换了 A 的列， P * A 是交换了A的行。 比较显然。

对称矩阵：顾名思义， 沿对角线对称。 满足 

【运算】

加法： 直接加。 乘一个标量： 直接乘。

矩阵乘法： 前提： A和B相容（A是一个 m * n 矩阵， B 是一个 n * p 矩阵）

                       对于 i = 1 to m   ,           j = 1 to p      

                       更直接的说 就是 在 Cij 处是用A 的 i 行乘以 B 的 j 列的和。

一些显然的性质：

· （无论从前面还是后面）乘 单位元 后 依然是原矩阵。

· 乘以0 矩阵后 总得到 0 矩阵

· 满足结合律和分配率， 但不满足交换律

【矩阵的基本性质】

· 逆：

         

· 奇异：（只有行数等于列数的方阵才有 奇异或非奇异 的概念） 没有逆的矩阵称为 不可逆的， 或 奇异的。 反之 为 可逆矩阵 或 非奇异矩阵。 奇异矩阵的行列式为0。 非奇异矩阵的秩 为 n .

                         如

· 逆与乘 和 转置：     

·线性相关 

                   就是列一个 n 元方程组是有解的。

·矩阵的秩：m * n 矩阵 A 的秩 即 满足 如下条件的最小数值 r ： 存在 m * r 矩阵 B 和 r * n 矩阵 c 使得： A = BC。（话说这东西怎么求啊。应该只能枚举吧）秩是[0, min(m, n)] 内的整数。

·行列式：就是一个矩阵能组成的全排列的和 的和， 但是 每个排列的和前面有一个系数1 或 -1，如果这个排列中逆序数为偶的话就是1， 为奇的话就是-1.

行列式很好的一些性质：

恩这些都还是比较显然的。

·空向量： （这个我没有太清楚， 只是猜测）就是一个矩阵有 一行 或者一列 都为 0 。

·满秩： n * n 的方阵的秩 是 n 。

 有如下几条非常喜闻乐见的定理 ：

1. 一个方阵是满秩的， 当且仅当 它是非奇异的（有逆 的）。
2. 一个矩阵 A 是列满秩的， 当且仅当 该矩阵不存在空向量 （这个不太明白）
3. 一个方阵是奇异的， 当且仅当它有空向量。
4. 一个方阵是奇异的， 当且仅当det(A) = 0。

这部分的东西有点杂， 稍稍总结一下
一个方阵 满秩 = 非奇异的 = 有逆的 = 行列式非0

一个方阵 不满秩 = 奇异的 = 没有逆的 = 有空向量 = 行列式为0

· 正定矩阵（没有明白）

有定理： 

好了 ， 关于矩阵的初步定义就到这里了。

参考资料： 算法导论 第三版

另， 还有我的矩阵运算和矩阵习题同时学习参考