模拟退火算法

一. 爬山算法 ( Hill Climbing )

      作为对比，先介绍爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的 临近 解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。

      爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入 局部最优解 ，而不一定能搜索到全局最优解。如图1所示：假设C点为当前解，爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索，因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。

二. 模拟退火(SA,Simulated Annealing)思想

      爬山法是完完全全的贪心法，每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解，因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素 。模拟退火算法 以一定的概率 来接受一个比当前解要差的解，因此有可能 会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以图1为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解A后，会 以一定的概率 接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点，于是就跳出了局部最大值A。

      模拟退火算法描述：

• 若J( Y(i+1) )>= J( Y(i) )  (即移动后得到更优解)，则总是接受该移动
• 若J( Y(i+1) )< J( Y(i) )  (即移动后的解比当前解要差)，则以一定的 概率 接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）

这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。

根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为Δt的降温的概率为P(Δt)，表示为：

P(Δt) = e ^{(- Δt/(kT) )}

其中k是一个常数，e表示自然指数，且Δt<0。这条公式说白了就是：温度越高（T越大），出现一次能量差为Δt的降温的概率就越大；温度越低（T越小），则出现降温的概率就越小。又由于Δt总是小于0（否则就不叫退火了），因此Δt/kT < 0 ，所以P(Δt)的函数取值范围是(0,1) 。 随着温度T的降低，P(Δt)会逐渐降低。

三. 模拟退火算法伪代码

/** J(y)：在状态y时的评价函数值* Y(i)：表示当前状态* Y(i+1)：表示新的状态* r： 用于控制降温的快慢* T： 系统的温度，系统初始应该要处于一个高温的状态* T_min ：温度的下限，若温度T达到T_min，则停止搜索*/while( T > T_min ){　　dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) ) ; 　　if ( dE >=0 )    //表达移动后得到更优解，则总是接受移动   Y(i+1) = Y(i) ;   //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动　　else　　{  if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) )  Y(i+1) = Y(i) ;    //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动　　}　　T = r * T ; //降温退火 ，0<r<1 。r越大，降温越慢；r越小，降温越快　　/*　　* 若r过大，则搜索到全局最优解的可能会较高，但搜索的过程也就较长。若r过小，则搜索的过程会很快，但最终可能会达到一个局部最优值　　*/　　i ++ ;}

四. 使用模拟退火算法解决旅行商问题

旅行商问题 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) ：有N个城市，要求从其中某个问题出发，唯一遍历所有城市，再回到出发的城市，求最短的路线。
旅行商问题属于所谓的 NP完全问题 ，精确的解决TSP只能通过穷举所有的路径组合，其时间复杂度是O(N!) 。
使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。（使用遗传算法也是可以的）模拟退火解决TSP的思路：

1. 产生一条新的遍历路径P(i+1)，计算路径P(i+1)的长度L( P(i+1) )
2. 若L(P(i+1)) < L(P(i))，则接受P(i+1)为新的路径，否则以模拟退火的那个概率接受P(i+1) ，然后降温
3. 重复步骤1，2直到满足退出条件

产生新的遍历路径的方法有很多，下面列举其中3种：

1. 随机选择2个节点，交换路径中的这2个节点的顺序。
2. 随机选择2个节点，将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。
3. 随机选择3个节点m，n，k，然后将节点m与n间的节点移位到节点k后面。

参考代码

#include <iostream>  #include <sstream>  #include <fstream>  #include <string>#include <cstring>#include <iterator>  #include <algorithm>  #include <climits>  #include <cmath>  #include <cstdlib>    using namespace std;    const int nCities = 10;   //城市数量  const double SPEED = 0.98;//退火速度  const int INITIAL_TEMP = 1000;//初始温度  const int L = 10 * nCities;   //Markov 链的长度  struct unit //一个解  {  double length;  //代价，总长度  int path[nCities];  //路径  bool operator < (const struct unit &other) const  {  return length < other.length;  }  };  unit bestone = {INT_MAX, {0} }; //最优解  double length_table[nCities][nCities];  //distance   class saTSP{public:int init_dis();  // create matrix to storage the Distance each cityvoid SA_TSP();  void CalCulate_length(unit &p);  //计算长度  void print(unit &p); //打印一个解  void getNewSolution(unit &p);// 从邻域中获去一个新解  bool Accept(unit &bestone, unit &temp, double t);//新解以Metropolis 准则接受  };  //stl 中 generate 的辅助函数对象  class GenbyOne {  public:  GenbyOne (int _seed = -1): seed(_seed){}  int operator() (){return seed += 1;}  private:  int seed;  };    void saTSP::SA_TSP()  {  srand((int)time(0));  int i = 0;  double r = SPEED;  double t = INITIAL_TEMP;  const double t_min = 0.001; //温度下限，若温度达到t_min ，则停止搜索    //choose an initial solution ~  unit temp;  generate(temp.path, temp.path + nCities, GenbyOne(0));  random_shuffle(temp.path, temp.path + nCities);  CalCulate_length(temp);  memcpy(&bestone, &temp, sizeof(temp));  // while the stop criterion is not yet satisfied do  while ( t > t_min )  {  for (i = 0; i < L; i++)   {    getNewSolution(temp);  //cout << "dkkd:" << bestone.length << endl;if(Accept(bestone,temp, t))  {  memcpy(&bestone, &temp, sizeof(unit));  }  else  {  memcpy(&temp, &bestone, sizeof(unit));  }  }  t *= r; //退火  }  return;  }    bool saTSP::Accept(unit &bestone, unit &temp, double t)  {  if (bestone.length > temp.length) //获得更短的路径  {  return true;  }  else  {  if ((int)(exp((bestone.length - temp.length) / t) * 100) > (rand() % 101) )   {  return true;  }  }  return false;  }    void saTSP::getNewSolution(unit &p)  {  int i = rand() % nCities;  int j = rand() % nCities;  if (i > j)   {  int t = i;  i = j;  j = t;  }  else if (i == j)  {  return;   }    int choose = rand() % 3;  if ( choose == 0)   {//交换  int temp = p.path[i];  p.path[i] = p.path[j];  p.path[j] = temp;  }  else if (choose == 1)   {//置逆  reverse(p.path + i, p.path + j);   }  else  {//移位  if (j + 1 == nCities) //边界处不处理  {  return;  }  rotate(p.path + i, p.path + j, p.path + j + 1);}  CalCulate_length(p);  }    int saTSP::init_dis() // create matrix to storage the Distance each city  {  int i = 0, j = 0;  string line;double word;ifstream infile("del2.txt");  if(!infile){cout << "Cannot open the file" << endl;return 0;}while(getline(infile, line)){j = 0;istringstream instream(line);while(instream >> word){length_table[i][j] = word;  ++j;}++i;}}    void saTSP::CalCulate_length(unit &p)  {  int j = 0;  p.length = 0;  for (j = 1; j < nCities; j++)   {  p.length += length_table[ p.path[j-1] ][ p.path[j] ];  }  p.length += length_table[p.path[ nCities - 1] ][ p.path[0] ];  }    void saTSP::print( unit &p)  {  int i;  cout << "代价是：" << p.length << endl;  cout << "路径是：";  for (i = 0; i < nCities; i++)   {  cout << p.path[i] << " ";  }  cout << endl;  }  int main(int argc, char* argv[])  {  saTSP sa;sa.init_dis();  sa.SA_TSP();  sa.CalCulate_length(bestone);  sa.print(bestone);  return 0;  }  

del2.txt

0 5 1272 2567 1653 2097 1425 1177 3947 35 0 4 2511 1633 2077 1369 1157 3961 15181272 4 0 1 380 1490 821 856 3660 3852567 2511 1 0 1 2335 1562 2165 3995 9331653 1633 380 1 0 1 1041 1135 3870 4562097 2077 1490 2335 1 0 1 920 2170 19201425 1369 821 1562 1041 1 0 1 4290 6261177 1157 856 2165 1135 920 1 0 1 12903947 3961 3660 3995 3870 2170 4290 1 0 43 1518 385 993 456 1920 626 1290 4 0

运行结果

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