什么是仿射变换以及仿射变换矩阵?
来源:互联网 发布:c语言中eof怎么输入 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 03:34
仿射变换可以理解为
・对坐标进行放缩,旋转,平移后取得新坐标的值。
・经过对坐标轴的放缩,旋转,平移后原坐标在在新坐标领域中的值。
如上图所示,XY坐标系坐标轴旋转θ,坐标原点移动(x0,y0)。
XY坐标系中的坐标(X,Y),则求新坐标系xy中的坐标值的方程组为:
X = X・cosθ - Y・sinθ + x0
Y = X・sinθ + Y・cosθ + y0
写成矩阵形式为
| x | | cosθ sinθ | | x0 |
| | = | X Y | * | | + | |
| y | | -sinθ cosθ | | y0 |
为将原点移动的值放入矩阵,则可以加入一个不影响原方程组的解的冗余方程。于是可以写成
X = X・cosθ - Y・sinθ + x0
Y = X・sinθ + Y・cosθ + y0
1 = X・0 + Y・0 + 1
写成矩阵形式为
| x | | cosθ sinθ 0|
| y | = | X Y 1 | * | -sinθ cosθ 0|
| 1 | | x0 y0 1|
这个矩阵就是Helmert变换矩阵。
考虑到新坐标系对于原坐标系在x,y两个坐标轴上的放缩率,可分别表示为λx和λy,则Helmert变换方程组可以修改为
X = (λx)X・cosθ - (λy)Y・sinθ + x0
Y = (λx)X・sinθ + (λy)Y・cosθ + y0
同样按照前述方法写成三阶矩阵为
| x | | (λx)cosθ (λx)sinθ 0|
| y | = | X Y 1 | * | (λy)-sinθ (λy)cosθ 0|
| 1 | | x0 y0 1|
这个矩阵就是affine变换矩阵,仿射矩阵。
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