动态规划--矩阵链乘法问题

http://acm.xmu.edu.cn/problem.php?id=1029

Description

    给定一个有N个矩阵的矩阵链A₁A₂A₃...A_n，矩A_i的维数为p_i-1*p_i。我们都知道，使用朴素的矩阵乘法去乘两个维数分别为x,y和y,z的矩阵，所需要的乘法次数为x*y*z。矩阵链乘法问题就是如何对矩阵乘积加括号，使得它们的乘法次数达到最少。

Input

    输入的第一行为一个正整数N(1<=N<=200)。表示矩阵的个数。
    输入的第二行包含N+1个整数，分别表示p_i(0<=i<=N)，其中每个p_i在[1,200]范围内。

Output

    输出一个整数表示最少要进行的乘法次数。

Sample Input

3

1 2 3 4

Sample Output

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解题思路:

动态规划(Dynamic Programming,DP)算法采用分治算法的思想,将原问题分成若干子问题,然后分别求解各个子问题,最后将子问题的解组合起来得到原问题的解.分治算法递归地

求解各个子问题,可能重复求解某些子问题.与分治算法不同的是,动态规划算法不是递归的求解各个子问题,它是简单问题的解入手,逐步求解,直达求解出原问题.动态规划算法的高明之处在于它不会重复求解某些重复出现的子问题,即重叠子问题.

矩阵链问题依赖于第i列和第j行的结果,所以采用自底向上的方法.

<pre name="code" class="cpp">#include <iostream>using namespace std;int t[201][201];int p[201];int n;//t[i][j]表示矩阵i..j相乘最小的相乘运算的个数；//p[i-1]xp[i]表示矩阵i(i属于1...n)的大小；void DP(){int i, j, k, l, tmp;for (i = 0; i <= n; i++)//单个矩阵所需的数乘次数为0t[i][i] = 0;for (l = 2; l <= n; l++)//循环一：dp时，矩阵链长的数乘次数依赖于链短的数乘次数{for (i = 1; i <= n - l + 1; i++)//循环二{j = i + l - 1;t[i][j] = t[i][i] + t[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];for (k = i + 1; k<j; k++)//遍历第i列和第j行取最少相乘个数，k表示从i...j矩阵二分的位置；{tmp = t[i][k] + t[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];if (tmp<t[i][j])t[i][j] = tmp;}}}cout << t[1][n] << endl;}int main(){int i;FILE *file = freopen("in4.txt","r",stdin);if (!file)return 1;scanf("%d", &n);for (i = 0; i <= n; i++)scanf("%d", &p[i]);DP();return 0;}