UVA 10181 15-Puzzle Problem IDA* 剪枝

题意：经典的15数码问题，给出这这15个数码的位置，问能否到达目标状态。如果能，输出对应的走法。

思路：这里用IDA*算法来解决这个问题。

            同八数码一样，我们定义h函数，为每个数字到目标位置的曼哈顿距离之和。

            然后这些写完，交上去就TLE。看来还需要优化。

            首先第一个优化，是对无解的判断。这里要用到逆序数的概念。

           当移动空格时可以发现，左右移动，是不改变这15个数字对应的序列的。而上下移动，会将4个数字的位置进行改变，这样会导致逆序数的奇偶性改变（+-3或+-1）。同时我们还要让空格移动到右下角的位置。

          所以，15数码有解的条件是：15个数字的逆序数加上空格移动到右下角的需要的行数的和 与 目标状态的逆序数的奇偶性相同。因为最终的状态的逆序数是偶数，所以给出的局面也应该是偶数。

          上面判定条件也可以推广，考虑N*N个格子的N*N-1数码问题，当N为奇数时，初始状态和目标状态的逆序数的奇偶性相同有解。当N为偶数时，首先计算初始状态到目标状态空格需要移动的行数m,当m加上初始状态的逆序数和目标状态的奇偶性相同，有解。

          但是这样写完后，还是TLE,还需要优化，看来只能在dfs中优化了。

          最重要的优化就是在下一步禁止向上一步的反方向移动，如果这样的话，就回到了原局面。因为在IDA*中没有判重函数，这样会大大增加搜索树的分支，降低效率。

          当然还可以直接传入空格的位置，而不是再次搜索。

代码如下：

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;int pos[][2] = {3,3,0,0,0,1,0,2,                0,3,1,0,1,1,1,2,                1,3,2,0,2,1,2,2,                2,3,3,0,3,1,3,2};int dx[] = {0,1,-1,0};int dy[] = {1,0,0,-1};char dir[] = {'R','D','U','L'};int en[16] = {1,2,3,4,                5,6,7,8,                9,10,11,12,                13,14,15,0};char path[100];int puz[16];int hstar(){    int h = 0;    for(int i = 0; i < 16; ++i){        int x = puz[i];        if(x == 0) continue;        h += abs(i / 4 - pos[x][0]) + abs(i % 4- pos[x][1]);    }    return h;}bool dfs(int p,int pre,int d, int maxd){    if(d + hstar() > maxd) return false;    if(d == maxd)        return memcmp(puz,en,sizeof(en)) == 0;    int x = p / 4, y = p % 4;    for(int j = 0; j < 4; ++j){        if(pre + j == 3) continue;        int nx = x + dx[j], ny = y + dy[j];        int nz = 4 * nx + ny;        if(nx >= 0 && nx < 4 && ny >= 0 && ny < 4){            swap(puz[p],puz[nz]);            path[d] = dir[j];            if(dfs(nz,j,d+1,maxd)) return true;            swap(puz[p],puz[nz]);        }    }    return false;}bool solvable(){    int cnt = 0;    for(int i = 0; i < 16; ++i){        if(puz[i] == 0)            cnt += 3 - i / 4;        else{            for(int j = 0; j < i; ++j)                if(puz[j] && puz[j] > puz[i])                    cnt++;        }    }    return !(cnt&1);}int main(void){    //freopen("input.txt","r",stdin);    int T,p;    scanf("%d",&T);    while(T--){        for(int i = 0; i < 16; ++i){            scanf("%d",&puz[i]);            if(puz[i] == 0)                p = i;        }        if(solvable()){            int maxd = 0;            for(;!dfs(p,-1,0,maxd); ++maxd);            path[maxd] = 0,puts(path);        }        else            puts("This puzzle is not solvable.");    }    return 0;}