浅谈LCA的离线算法

在线算法与离线算法的定义

在计算机科学中，一个在线算法是指它可以以序列化的方式一个个的处理输入，也就是说在开始时并不需要已经知道所有的输入。相对的，对于一个离线算法，在开始时就需要知道问题的所有输入数据，而且在解决一个问题后就要立即输出结果。例如，选择排序在排序前就需要知道所有待排序元素，然而插入排序就不必。

因为在线算法并不知道整个的输入，所以它被迫做出的选择最后可能会被证明不是最优的，对在线算法的研究主要集中在当前环境下怎么做出选择。对相同问题的在线算法和离线算法的对比分析形成了以上观点。如果想从其他角度了解在线算法可以看一下 流算法（关注精确呈现过去的输入所使用的内存的量），动态算法（关注维护一个在线输入的结果所需要的时间复杂度）和在线机器学习。

那么LCA的离线tarjan算法是什么呢，众所周知，taejan算法基本就是一个dfs，那么这个也是用一个dfs来完成的，那思想是什么呢？

首先先用把要求的值存下来，就是所谓的离线一下， 然后dfs什么呢，就是先判断有没有再query里的，如果在query里并且那个已经被处理过了，并且他们的公共祖先没有被标记掉，那么就可以求这两个点之间的距离了。
接下来就是各种把他的未标记节点dfs一遍
然后就求出答案了
步骤：
tarjan算法的步骤是(当dfs到节点u时):
1 在并查集中建立仅有u的集合,设置该集合的祖先为u
1 对u的每个孩子v:
   1.1 tarjan之
   1.2 合并v到父节点u的集合,确保集合的祖先是u
2 设置u为已遍历
3 处理关于u的查询,若查询(u,v)中的v已遍历过,则LCA(u,v)=v所在的集合的祖先
贴图解释一下

如图：前面处理的时候能把每一个每一个颜色的处理为一个集合，并且用并查集随着先后顺序也会发现lca再不断的变化，并且不会错，这是为什么呢，这就是奇妙的dfs
因为他的查询和处理是同步的，所以他是不会错的
比如查询5 6
那么可以知道，现在5,6的祖先是2，并且findset（6）为2，
查询   2 8
那么2 ，8的lca就是1
因为是先处理的2，所以再8的地方2已经被处理过了，所以现在findset（2）=1；
代码如下：

void dfs(int u){     //printf("%d\n",u);     for(int i=0;i<query[u].size();i++){       int v=query[u][i].to;       if(vis[v]&&ans[query[u][i].w]==-1&&!mark[findset(v)]){//mark<span style="font-family:KaiTi_GB2312;">表示的是这个点是集合的祖先，如果他们的不属于一个集合，那么肯定不能更新，如果是一个集合的话，就不用标记了</span>        ans[query[u][i].w]=dis[u]+dis[v]-2*dis[findset(v)];        //printf("lca（%d->%d）：%d\n",u,v,findset(v));       }     }     for(int i=0;i<mp[u].size();i++){         int v=mp[u][i].to;         if(!vis[v]){         vis[v]=1;         dis[v]=dis[u]+mp[u][i].w;         dfs(v);         par[v]=u;         }     }}

下面贴hdu  2874的代码，助理解

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <vector>using namespace std;#define N 10010#define M 1000010struct node{   int to,w;   node (int a=0,int b=0){to=a,w=b;}};int ans[M];int par[N],vis[N],mark[N],dis[N];int n,m,k;vector<node>mp[N];vector<node>query[N];void init(){     for(int i=0;i<=n;i++){     mp[i].clear();     query[i].clear();     vis[i]=mark[i]=0;     par[i]=i;     }     memset(ans,-1,sizeof(ans));}int findset(int x){    if(x!=par[x]) par[x]=findset(par[x]);    return par[x];}void dfs(int u){     //printf("%d\n",u);     for(int i=0;i<query[u].size();i++){       int v=query[u][i].to;       if(vis[v]&&ans[query[u][i].w]==-1&&!mark[findset(v)]){        ans[query[u][i].w]=dis[u]+dis[v]-2*dis[findset(v)];        //printf("lca（%d->%d）：%d\n",u,v,findset(v));       }     }     for(int i=0;i<mp[u].size();i++){         int v=mp[u][i].to;         if(!vis[v]){         vis[v]=1;         dis[v]=dis[u]+mp[u][i].w;         dfs(v);         par[v]=u;         }     }}int main(){    while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&k)){    init();    int x,y,z;     for(int i=0;i<m;i++)        {            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);            mp[x].push_back(node(y,z));            mp[y].push_back(node(x,z));        }        for(int i=1;i<=k;i++)        {            scanf("%d%d",&x,&y);            query[x].push_back(node(y,i));            query[y].push_back(node(x,i));        }        for(int i=1;i<=n;i++)        {            if(!vis[i])            {                vis[i]=1;                dis[i]=0;                dfs(i);                mark[i]=1;            }        }        for(int i=1;i<=k;i++)        {            if(ans[i]!=-1)                printf("%d\n",ans[i]);            else                printf("Not connected\n");        }    }    return 0;}