B树

这是一个很深的问题，我采用逐步问答的方式来解答。试图用最简洁的语言解决整体概念上的问题。

本文目的纯粹是提供对“索引采用B树结构”这个问题的一种入门概念，不涉及深入的东西。

• 数据库索引为什么会选择B树结构？

答：因为使用B树查找时，所用的磁盘IO操作次数比平衡二叉树更少，效率也更高。

• 为什么使用B树查找所用的磁盘IO操作次数比平衡二叉树更少？

答：大规模数据存储中，树节点存储的元素数量是有限的（如果元素数量非常多的话，查找就退化成节点内部的线性查找了），这样导致二叉查找树结构由于树的高度过大而造成磁盘I/O读写过于频繁，进而导致查询效率低下。那么我们就需要减少树的高度以提高查找效率。而平衡多路查找树结构B树就满足这样的要求。B树的各种操作能使B树保持较低的高度，从而达到有效减少磁盘IO操作次数。

• 什么是B树？B树有什么特征？

答：一棵度为m（也称为m阶，m为给定数）的B-树，它满足：

（1）每个结点的子结点个数≤m；

（2）根结点若不是叶子结点，它至少有两个子结点；
（3）除根和叶子结点外，每个结点的子结点个数≥   ceil(m/2)；(注：ceil为向上取整函数）

（4）所有的叶子结点都出现在同一层，而且不带有信息；

（5）非叶子结点若具有j+1个子结点，那么它包含j个关键字。其中，j≤m-1。B-树的非叶子结点的结构形式如下：

ki (1≤i≤j)是关键字，所有关键字的值是唯一的；

pi (0≤i≤j)是指向该结点的子结点的指针。

结点中的关键字是按一定规则排好序的。假若按升序排列，有k1 < k2 < … < kj，那么，p0指向一棵关键字均小于k1的子树的根结点； pi（0

• B树的查找是如何实现的？

答：在给定的m阶B树中查找一个给定值v相等的关键字，必须从根结点开始进行查找。

B树应用于文件系统的动态索引结构，这些结点存储于外部存储设备上。当一个结点从外存调入内存后，我们可就这个结点的关键字序列，使用顺序查找（m较小时），或使用二分查找（ m较大时）。

      假若当前被查找的结点中有j个关键字，那么，在查找等于给定值v的关键字时，会有如下可能：
（1）若v==ki (1≤i≤j)，则查找成功。
（2）若v < k1  ,则
① 如果p0为空，那么查找失败；
② 如果p0非空，那么从外存取得p0所指的结点，再继续进行查找。
（3）若ki
① 如果pi为空，那么查找失败；
② 如果pi非空，那么从外存取得pi所指的结点，再继续进行查找。
（4）若kj
① 如果pj为空，那么查找失败；
② 如果pj非空，那么从外存取得pj所指的结点，再继续进行查找。

• 既然查找效率与树的高度紧密相关，那么B树的高度由什么决定？

答：若n≥1，m≥3，则对任意一棵具有n个关键字的m阶B树，其树高h至多为：

logt((n+1)/2)+1。
这里t是每个(除根外)内部结点的最小度数，即

B-树的高度为O(logtn)。

• 给个B树性能分析具体例子呗？

答：首先须知：n个结点的二叉平衡的高度H（即lgn）比B树的高度h约大lgt倍，t为B树内部结点的最小度数ceil(m/2)。

【例】若阶m=1024，则lgt=lg512=9。此时若B树高度为4，则平衡的二叉排序树的高度约为36。显然，若m越大，则B树高度越小。

• 若要作为内存中的查找表，B树的表现还要比二叉平衡树好吗？

答：非也。若要作为内存中的查找表，B树却不一定比平衡的二叉排序树好，尤其当m较大时更是如此。

因为查找等操作的CPU计算时间在B树上是
O(mlogtn)=O(lgn·(m/lgt))
而m/lgt>1，所以m较大时O(mlogtn)比平衡的二叉排序树上相应操作的时间O(lgn)大得多。因此，仅在内存中使用的B树必须取较小的m。（通常取最小值m=3，此时B树中每个内部结点可以有2或3个孩子，这种3阶的B树称为2-3树）