CCF青少年计算机程序设计评级标准（六）

六级标准

1.1  定义

        掌握基本的数据结构知识，能够根据实际需求设计算法编写程序，解决问题。

1.2  知识要求

        1.      树、图的存储

        2.      哈希表、集合数据结构

        3.      图的最短路、生成树算法，有向图的拓扑排序算法。

        4.      动态规划常见模型，分治策略，各种排序算法。

        5.      可重集组合，二项式定理，数列与级数，归纳与递推，容斥原理，函数的连续性、函数的单调性和极值。

1.3  能力要求

        1.      能对一些算法和数据结构估算时间复杂度和空间复杂度。

        2.      能根据实际问题的模型选择合适的算法和数据结构来解决问题。

        3.      具备知识收集和知识管理的能力。

1.4  评价方法

        1.      与NOIP提高组复赛相衔接。采用上机编程考核方式，分两次测试，每次3个试题，考4个小时。共6道题，考8小时。

        2.      NOIP提高组复赛中成绩列全国前50%。

1.5  题例

试题名：最优贸易

文件名：trade

试题描述：

         C国有n个大城市和m条道路，每条道路连接这n个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这m条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为1条。C国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

         商人阿龙来到C国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一消息之后，便决定在旅游得同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设C国n个城市的标号1  ~n，阿龙决定从1号城市出发，并最终在n号城市结束自己的旅行。在旅游得过程中，任何城市可以重复经历多次，但不要求经过所有n歌城市。阿龙通过这些的贸易方式赚取旅费；他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取得差价当做旅费。由于阿龙主要是来C过旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。假设C国有5个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

         假设1~n号城市的水晶球价格分别为4，3，5，6，1。阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在2号城市以3的价格买入水晶球，在3号城市以5的价格卖出水晶球，赚取得旅费数为2。阿龙也可以选择如下一条线路：1->4->5->4->5，并在第1次到达5号城市时以1的价格买入水晶球，第2次到达4号城市时以6的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为5。现在给出n个城市的水晶球价格，m条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。

         请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入数据：

         输入文件为trade.in。

         第一行包含2个正整数n和m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。第二行n个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这n个城市的商品价格。接下来m行，每行有3个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果z=1，表示这条道路是城市x到城市y之间的单向道路；如果z=2，表示这条道路为城市x和城市y之间的双向道路。

输出数据：

         输出文件trade.out。

         共1行，包含1个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出0。

输入输出样例：

         trade.in                                trade.out

         5 5                                         5

         4 3 5 6 1

         1 2 1

         1 4 1

         2 3 2

         3 5 1

         4 5 2

数据范围：

         输入数据保证1号城市可以到达n号城市。

         对于10%的数据，1<=n<=6。

         对于30%的数据，1<=n<=100。

对于50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于100%的数据，1<=n<=100000，1<=m=500000，1<=x，y<=n，1<=z<=2，1<=各城市水晶球价格 <=100。

参考题解：

         此题方法有很多，下面介绍两种方法。

         方法1：

将图中圈缩成点，变成一个有向无环图。

设f(i)表示i点的最低买入价，g(i)表示i点的最高卖出价。

从左至右做简单动态规划，f(i)=min{f[j],a[i]}，其中j到i有弧，意思是当前的最低买入价，要么是前面城市的最低买入价，要么就是当前城市的价格。

然后从右至左再进行简单动态规划。f(i)=max{f[j],a[i]}，其中i到j有弧，意思是当前的最高卖出价，要么是后面城市的最低卖出价，要么就是当前城市的价格。

答案就是对所有城市求出最大差价，即ans=max{g(i)-f(i)}。

方案2：

从起始城市开始，到目标城市结束，沿着正向弧用spfa求出每个城市的最大买入价。

从目标城市开始，到起始城市结束，沿着逆向弧用spfa求出每个城市的最大卖出价。

答案就是对所有城市求出最大差价，即ans=max{g(i)-f(i)}。