二叉堆的插入删除等操作C++实现

有几种明显的方法实现优先队列：

1. 使用简单链表在表头以O(1)执行插入操作，遍历该链表需要O(N)。另一方法是始终保持表有序，插入操作代价为O(N)，deleteMin花费为O(1)。

2. 使用二叉查找树。插入、删除操作平均时间均为O(logN)。实现优先队列要删除最小元素，那么将会不断在左子树中删除，会损害树的平衡，会使右子树加重。这样，在最坏情况下，左子树为空，则树相当于链表，这样其操作的时间界限就会变为最坏情况。另外，查找树实现有些过分，因为它支持大量并不需要的操作。

         二叉堆是实现优先队列的常见方法。它是完全二叉树，有规律可循，因此可用数组实现而不使用链表。如果从数组的下标为1的位置开始存元素（下标0处不存），那么数组中某位置i上的元素，其左孩子在位置2i，右孩子在2i+1位置上。

要快速找到最小值，则使用小根堆，根元素最小。

由于二叉堆是完全二叉树，因此其高度为不大于logN的最大整数。插入操作、删除操作的最坏时间为O(logN)，平均时间为O(logN)。

以下代码以vector容器为基本数组实现小根堆，使用泛型编程实现：

这里用到了泛型编程，对于泛型编程有注意的地方，参考《泛型编程注意不能将模板类的成员函数放在独立的实现文件中》。

删除堆的过程就是要下滤的。
而堆排序用到了删除堆的操作，因此，堆排序也是要下滤的。
对任意输入序列建立堆也要下滤，因为该过程就是一系列元素排序的过程。

//6heap.h#ifndef TEST_HEAP_H#define TEST_HEAP_H#include "test.h"/*这里建立的是小根堆，元素存在vector容器中，根从下标为1的元素开始*/template <typename T>class BinaryHeap {public:    explicit BinaryHeap(int capacity = 100)        :array(capacity + 1), current_size(0) {}    explicit BinaryHeap(const vector<T>& items)        :array(items.size() + 10), current_size(items.size()) {        int i;        for (i = 0; i < items.size(); i++)            array[i + 1] = items[i];        BuildHeap();    }    bool IsEmpty() const {        return current_size == 0;    }    const T& FindMin() const {        if (IsEmpty())            cout << "No items in binary heap" << endl;        return array[1];    }    /*    堆的插入操作是“上滤”的过程。最坏时间为O(logN)，平均时间为O(logN)。    先在堆的下一个空闲位置上建立一个空穴，如果这样不破坏堆的性质，那么插入完成。    否则，将空穴父节点的元素移入空穴，这样空穴上升了一层，到达父节点的位置。    继续该过程，直到插入值可以放入空穴为止。    */    void Insert(const T& value)    {        if (current_size == array.size() - 1) //空间不够，重分配            array.resize(array.size() * 2);        int hole = ++current_size; //在堆的下一个空闲位置建立一个空穴        /*         在空穴没上滤到根部并且插入值小于空穴父节点时，        将父节点移入空穴，空穴位置上升一层         */        for ( ; hole > 1 && value < array[hole / 2]; hole /= 2)            array[hole] = array[hole / 2];        array[hole] = value; //将值插入到合适位置    }    /*    删除操作最坏时间为O(logN)，平均时间为O(logN)。    删除最小值时，根成空穴，且堆要少一个元素，    因此原堆的最后一个元素X将要放到堆的某个位置；    如果X可以放到空穴中则完成；否则要将空穴的儿子中较小的元素放入空穴，空穴    下移，重复该过程直到X可以放入空穴。    */    void DeleteMin() {        if (IsEmpty())            cout << "No items in binary heap" << endl;        array[1] = array[current_size--];        PercolateDown(1);    }    void DeleteMin(T& min_item) {        if (IsEmpty())            cout << "No items in binary heap" << endl;        min_item = array[1];        array[1] = array[current_size--];        PercolateDown(1);    }    void MakeEmpty() {        current_size = 0;    }    void PrintItems() {        cout << "Items: ";        int i = 1;        while (i <= current_size) {            cout << array[i++] << " ";        }        cout << endl;    }private:    int current_size;    vector<T> array;    /*    建立堆的操作最坏时间为O(NlogN)，平均时间为O(N)    建立堆的过程就是堆排序的过程    */    void BuildHeap() {        int i;        for (i = current_size / 2; i > 0; i--)            PercolateDown(i);    }    /*    该函数完成“下滤”过程。    删除堆的过程就是要下滤的。    而堆排序用到了删除堆的操作，因此，堆排序也是要下滤的。    对任意输入序列建立堆也要下滤。    该函数的做法是将插入值置入沿着从根开始    包含最小儿子的一条路径上的正确位置    */    void PercolateDown(int hole) {        int pos_child;        T tmp = array[hole];        //当空穴位置没有到达堆的尾部前，循环向下层找空穴位置        for ( ; hole * 2 <= current_size; hole = pos_child) {            pos_child = 2 * hole;            /*            下边语句是要将较小孩子的下标移入空穴，将空穴移入下一层。            下边的pos_child != current_size条件是控制当堆的节点为偶数时情况，            当堆节点为偶数时，最后一个非叶节点只有一个左孩子，则此时要找的            较小孩子的下标就是左孩子的下标，即不用执行下边第一个if            */            if (pos_child != current_size && array[pos_child + 1] < array[pos_child])                pos_child++;            if (array[pos_child] < tmp)  //如果较小孩子比父节点小，则空穴下移一层                array[hole] = array[pos_child];            else                break;        }        array[hole] = tmp;    }};#endif

//test.cpp#include "6heap.h"int main() {    BinaryHeap<int> heap;    heap.Insert(22);    heap.Insert(12);    heap.Insert(7);    heap.Insert(1);    heap.PrintItems();    vector<double> dvec;    int i;    for (i = 10; i > 0; --i)        dvec.push_back(i);    BinaryHeap<double> dheap(dvec);    dheap.PrintItems();    heap.DeleteMin();    heap.PrintItems();    dheap.DeleteMin();    dheap.DeleteMin();    dheap.PrintItems();    return 0;}