算法导论-----------------0-1背包问题dp求解
来源:互联网 发布:在淘宝网上怎么买彩票 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 11:56
首先介绍一下动态规划...
设计一个动态规划算法,通常可按照以下几个步骤进行:
(1) 找出最优解的性质,并刻画其结构特征。
(2) 递归地定义最优解的值
(3) 以自底而上的方式计算出最优值
(4) 根据计算最优值时得到的信息,构造一个最优解。
对于一个给定的问题,若具有以下两个性质,则可以考虑用动态规划法来求解。
(1) 最优子结构。如果一个问题的最优解中包含了其子问题的最优解,就说该问题具有最优子结构。当一个问题具有最优子结构时,提示我们动态规划法可能会适用,但是此时贪心策略可能也是适用的。
(2) 重叠子问题。指用来解原问题的递归算法可反复地解同样的子问题,而不是总在产生新的子问题。即当一个递归算法不断地调用同一个问题时,就说该问题包含重叠子问题。此时若用分治法递归求解,则每次遇到子问题都会视为新问题,会极大地降低算法的效率,而动态规划法总是充分利用重叠子问题,对于每个子问题仅计算一次,把解保存在一个在需要时就可以查看的表中,而每次查表的时间为常数。
问题:有n个物品,第i个物品价值为vi,重量为wi,其中vi和wi均为非负数,背包的容量为W,W为非负数。现需要考虑如何选择装入背包的物品,使装入背包的物品总价值最大。该问题以形式化描述如下:
目标函数为 :
约束条件为:
满足约束条件的任一集合(x1,x2,...,xn)是问题的一个可行解,问题的目标是要求问题的一个最优解。考虑一个实例,假设n=5,W=17, 每个物品的价值和重量如表9-1所示。可将物品1,2和5装入背包,背包未满,获得价值22,此时问题解为你(1,1,0,0,1)。也可以将物品4和5装入背包,背包装满,获得价值24,此时解为(0,0,0,1,1)。
下面根据动态规划的4个步骤求解该问题。
(1) 刻画0-1背包问题的最优解的结构。
可以将背包问题的求解过程看作是进行一系列的决策过程,即决定哪些物品应该放入背包,哪些物品不放入背包。如果一个问题的最优解包含了物品n,即xn=1,那么其余x1,x2,...,x(n-1)一定构成子问题1,2,...,n-1在容量W-wn时的最优解。如果这个最优解不包含物品n,即xn=0,那么其余x1,x2,...,x(n-1)一定构成子问题1,2,...,n-1在容量W时的最优解。
(2)递归定义最优解的值
根据上述分析的最优解的结构递归地定义问题最优解。设c[i,w]表示背包容量为w时,i个物品导致的最优解的总价值,得到下式。显然要求c[n,w]。
#include<iostream>#include<vector>using namespace std;int dynamic_0_1_knapsack(int *v, int *w, int n, int W){vector<vector<int>> c(n + 1, vector<int>(W+1, 0));//c[i][j]表示,将i个物品放入容量为j的背包中所具有的价值最大值;for (int i = 0; i <= n; ++i){c[i][0] = 0;}for (int i = 1; i <= n; ++i){c[i][0] = 0;for (int j = 1; j <= W; ++j){if (w[i] <= j){if (v[i] + c[i - 1][j - w[i]] > c[i - 1][j])c[i][j] = v[i] + c[i - 1][j - w[i]];elsec[i][j] = c[i - 1][j];}else{c[i][j] = c[i - 1][j];}}}return c[n][W];}int main(){int v[4] = { 0, 60, 100, 120 };int w[4] = { 0, 1, 2, 3 };int W = 5;cout << dynamic_0_1_knapsack(v, w, 3, W) << endl;vector<vector<int>> c(3 + 1, vector<int>(W + 1, 0));for (int i = 0; i <= 3; i++){for (int j = 0; j <= 5; j++){c[i][j] = dynamic_0_1_knapsack(v, w, i, j);cout << dynamic_0_1_knapsack(v, w, i, j) << " ";}cout << endl;}int remainspace = W;for (int i = 3; i >= 1; i--){if (remainspace >= w[i]){if ((c[i][remainspace] - c[i - 1][remainspace - w[i]] ==v[i])){cout << "item " << i << " is selected!" << endl;remainspace = remainspace - w[i];//如果第i个物品被选择,那么背包剩余容量将减去第i个物品的重量 ;}}}}
最后收录一下找的文章:
http://blog.sina.com.cn/s/blog_73b89cd301014x74.html
http://blog.csdn.net/yeepom/article/details/8712224
http://shmilyaw-hotmail-com.iteye.com/blog/2009761
http://blog.csdn.net/insistgogo/article/details/8579597
http://blog.csdn.net/insistgogo/article/details/8579597
http://www.wutianqi.com/?p=2581
http://blog.csdn.net/liuzhanchen1987/article/details/7855186
http://blog.csdn.net/qq120848369/article/details/5441005
http://www.cnblogs.com/shuaiwhu/archive/2013/06/04/3113629.html
http://blog.csdn.net/tianshuai1111/article/details/7025464
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