【BZOJ】【P1361】【Wc2004】【孪生项链】【题解】【Lyndon Word+构造】

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wc的题目真是个个都是神题啊

首先看任务2

显然我们求出来循环节长度为k的串的个数然后除以n就好了

循环节长度为k的串 => 2^k-循环节长度不为k的串

循环节一定是k的约数

用f[k]表示循环节为k且仅为k的串的个数

那么

高精递推即可

任务1

神奇的构造

直接把题解贴上吧

首先我们把给定串复制无限份依次写下来，形成一个以原串为循环节的长度无限的串，然后截取前n位，再把这个串看成一个二进制数做加1运算，在消去末尾所有的0，最后得到的即为所求的后继项链。

证明：

 设原项链为s，我们所得到的新串为t，我们将t中出现的每一个原项链s成为t的一个小节，t最后的所剩部分也称作一个小节。我们将分以下两步证明算法的正确性

1．新串t是一个合法的项链，且大于s。

2．不存在另一个大于原项链s的项链小于t。

3． 

证明1：首先，很容易证明t的最后一个小节是大于t的任何一个其他的小节的。接下来我们考察新串t的任一种循环表示t’，如果t’的起始位置是在t的某一个小节的第一位，那么将t与t’比较，它们的前几个小节都是相同的，直至比较至t’的最后一个小节，它一定是大于t所对应的小节的，故t’>t。如果t’的起始位置不是在t的某一个小节的第一位，设原串s的长度为m，则t’的前m位一定是s的一种循环表示，由于s是一个合法项链，即t’的前m位一定大于s，即大于t的前m位，即t’>t。也就是说，对于t的任一个循环表示t’，都有t’>t，故t没有循环节，且它是所有循环表示中最小的一个，即t也是一个合法的项链。而在由s构造t的过程中，每一步都是增大超作，故最后得到的串t也是大于s的。

证明2：假设存在另一个项链r使得s<r<t，由于r<t，必然存在一个位置使得在这个位置上r中的数字是0而t中的是1，设这个位置是在t的第p个小节中，则对于这个小节，有r<t。考察r的以这个小节的第一位为初始位置的循环表示r’，我们发现r’<s，而r<r’，故r<s，与假设矛盾。故不存在这样的项链r，原命题成立。

Code:

(不会写高精只会用python我是不是废了)

import mathimport sysn,m,k=[int(x) for x in raw_input().split()]f=[0]*1001f[1]=2for i in range(2,k+1):    f[i]=2**i    for j in range(1,int(math.sqrt(i))+1):        if i%j==0:            f[i]-=f[j]            if j*j!=i and j!=1:                f[i]-=f[i/j]print f[k]/ks=raw_input()st=swhile len(s)<n:    s=s+sts=s[0:n]ps=0for i in range(len(s)-1,-1,-1):    if s[i]=='0':        ps=i        breakprint str(s[0:ps])+'1'