Toad趣题：说真话的程序员 & 不说实话的经理

原题在这里： http://www.cs.cmu.edu/puzzle/puzzle1.html

FBI包围了诺恩公司的总部。里面总共有n个人。每个人不是工程师就是经理。机密文件已经被销毁，只有经理掌握。现在FBI要分辨他们。只能问i：“j是什么身份”。诺恩中每个人相互都知道身份。工程师只说真话；经理并不总是说真话，而且都足够狡猾，想尽方法迷惑FBI。（出题人是在吐槽经理吗）

1 假如一半以上的人都是工程师，是否有一个策略，用最多n-1次提问找到一位工程师。
2 假如有至少一半的人是经理，是否能找到一位工程师。

3 一旦找到了一个工程师，通过他可以认清其他人的身份。是否可以用更少的询问次数来确认所有人的身份。

第一问，n-1次是一个限制比较苛刻的条件。如果把这个条件放松，不限制询问次数，是有办法的。注意到有一半以上的人说真话，那么问一遍所有人：第i个人是E（工程师）还是M（经理）。肯定有一半以上的人的答案是相同的，这就是i的身份。依次运用这种方式，可以找出所有人的身份。

第一问的解答稍后再看。

第二问，现在经理的人数分庭抗礼，甚至占了上风，如何判断？

为了简化问题，可以把问题特殊化：如果有2个人，a是M，b是E。你是否能找出他们的身份呢？

两种情况：

1）询问某人自己是什么身份，他的回答一定是E。   （他如果是工程师，会如实回答E；如果是M，可能会回答E或M。但是如果他的回答是M，我们就能肯定，他就是M。所以经理要宣传自己是E。）这就好像坏人一定不会说自己是坏人一样。

2）如果询问a，b，对方是什么身份。

a是工程师的话，他如实说对方是M；

b是经理，他一定要说a是狡猾的经理。（否则就等于承认自己经理，注意条件是两人当中要有一个人是经理。）所以，经理为了迷惑我们，他的策略是：说a是M。

如果推广到更多的人，且我们知道工程师和经理是一半对一半。

那么总会有一半的人，任意两两个人互相声称对方是勤劳智慧的E，所以他们形成了半壁江山的团体。

经理的策略必须是：团结所有经理，声称所有的经理都是诚实的是工程师；排斥工程师，说他们是狡猾的经理。

从我们看来，只知道这群人按照身份分成两个人数相同阵营，却无从知晓谁是谁非。

通过上面的分析，也可以总结出：

引理1：如果一群人，任意两两互相说对方是工程师，他们的身份一定是相同的。我们可以把他们看成一个阵营  。

引理2：如果一个人说对方是狡猾的经理，要么其中一个人经理，要么两个人都是经理。我们可以把他们看成不同的阵营。

如果经理数占了上风，并且我们也不知道到底有多少勤劳智慧的工程师：

情形1： {a}是E，{b，c}是M。经理可以通过计划好自己的说辞，让我们判断：a是一1号阵营，b是2号阵营，c是3号阵营。

情形2：如果有6个人，[1,2]是E，[3,4,5,6]是M。经理们可以形成{3,4}、{5,6}两个阵营，或者是{3}  {4,5,6}的阵营

总之，在这些情况下，相同阵营中的身份是一致的，但是我们无法找到工程师阵营。

因此第二问的回答是否定的。

回到第一问。如果有一半以上的人是经理，能否使用n-1次询问找到其中一个工程师。

答案不那么显而易见，因为要求我们去设计某种策略、算法。

策略1：依次问所有人，某个人a是什么身份。如果有n/2次询问，我们仅可以确定他的身份。如果他是经理，就用掉一半的询问。这种方法不可行

策略2：

……

通过盲目的试探很难找到方法，所以需要从题目的条件，以及引申出来的引理来制定策略:

引理3：如果整个过程当中有至少一半的人，说某个人是工程师，那么这个人确实就是工程师。（为什么？）

引理4：如果a承认b是工程师，那么a认可b所有的判断。例如，如果b宣传c是工程师，那么a也认同c是工程师。

引理5：”认同队列“。有m个人，依次是{1,2,3,4……}，后一个人说前面的人是工程师。根据引理5，等于所有人都认同1是工程师。

根据引理2："如果一个人说对方是狡猾的经理，要么其中一个人经理，要么两个人都是经理。"把这两个人排除掉，剩下的人的当中还是保持了有一半的人以上是工程师。这等于缩小了问题的规模。最开始的问题看成是q（n， n-1），排除了两个人以后变成了q(n-2, n-2)。

人员按1到n排序。先把第一个人放到队列的开头。从第二个人开始，询问他队列最后一个人的身份。如果他回答是E，把他加到队列的最后；如果他的回答是M，把他和队列最后的一个人排除掉。当问完最后一个人以后，队列所有人都认同队首的人是工程师。并且队列当中有一半以上的人工程师。所以可以判断队首的人是工程师

第三问