BZOJ系列1257《[CQOI2007]余数之和sum》题解

Description

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input

输入仅一行，包含两个整数n, k。

Output

输出仅一行，即j(n, k)。

Sample Input

5 3

Sample Output

7

HINT

50%的数据满足：1<=n, k<=1000 100%的数据满足：1<=n ,k<=10^9

分析：O(N)是肯定不行的，需要转换为O(sqrt(N))。

首先明确等式：K%i=K-(K/i)*i；那么答案就是ans=N*K-∑[(K/i)*i]。

可以发现，每个K/i都有多个对应的i值，尤其是当i很大时会更明显。

而每个K/i最多只有sqrt(K)个，所以可以先确定这部分，再用等差数列求和公式求出。

代码如下：

#include<iostream>#include<cmath>#include<cstdio>using namespace std;typedef long long ll;ll N,K,ans=0,now;int main(){    scanf("%lld%lld",&N,&K);    ans=N*K;    for(ll i=1,j;i<=N;i=j+1)    {        if(K/i==0) break;        else        {            j=min(K/(K/i),N);            ans-=(j-i+1)*(j+i)*(K/i)/2;//等差数列求和计算。        }    }    printf("%lld\n",ans);    return 0;}