核函数的有效性判定

问题：给定一个函数K，我们能否使用K来替代计算，也就说，是否能够找出一个，使得对于所有的x和z，都有？

比如给出了，是否能够认为K是一个有效的核函数。

下面来解决这个问题，给定m个训练样本，每一个对应一个特征向量。那么，我们可以将任意两个和带入K中，计算得到。I可以从1到m，j可以从1到m，这样可以计算出m*m的核函数矩阵（KernelMatrix）。为了方便，我们将核函数矩阵和都使用K来表示。

如果假设K是有效地核函数，那么根据核函数定义

可见，矩阵K应该是个对称阵。让我们得出一个更强的结论，首先使用符号来表示映射函数的第k维属性值。那么对于任意向量z，得

最后一步和前面计算时类似。从这个公式我们可以看出，如果K是个有效的核函数（即和等价），那么，在训练集上得到的核函数矩阵K应该是半正定的（）

这样我们得到一个核函数的必要条件：

K是有效的核函数 ==>核函数矩阵K是对称半正定的。

可幸的是，这个条件也是充分的，由Mercer定理来表达。

Mercer定理：

如果函数K是上的映射（也就是从两个n维向量映射到实数域）。那么如果K是一个有效核函数（也称为Mercer核函数），那么当且仅当对于训练样例，其相应的核函数矩阵是对称半正定的。

Mercer定理表明为了证明K是有效的核函数，那么我们不用去寻找，而只需要在训练集上求出各个，然后判断矩阵K是否是半正定（使用左上角主子式大于等于零等方法）即可。

许多其他的教科书在Mercer定理证明过程中使用了范数和再生希尔伯特空间等概念，但在特征是n维的情况下，这里给出的证明是等价的。

核函数不仅仅用在SVM上，但凡在一个模型后算法中出现了，我们都可以常使用去替换，这可能能够很好地改善我们的算法。