红黑树介绍与算法分析

描述

红黑树是一种特殊的二叉查找树，二叉查找树的性质在这不详细介绍。红黑树的节点除了需要存储key值外，还需要保存一个color信息。下图是一个简单的红黑树

属性

1.所有节点都是有颜色的，red orblack

2.root节点是black

3.叶节点都是black

4.red节点的左右子节点的颜色必须是black

5.从任何一个内部节点(包括根节点)开始,到任何一个叶节点，所有路径上的黑色节点数量相等，计算黑色节点时，不包括起始节点。

我们通常画红黑树的时候常常忽略叶节点，如下

常用操作

Insert:插入一个节点

红黑树的插入操作完成后需要保证新的红黑树不违反红黑树的5条性质。

算法设计(来自《算法导论》):

每次插入一个新的节点时，我们都将新的节点设置为红色，然后按照二叉查找树的插入算法进行操作。

插入完成后，我们分析一下新的树可能会违反哪些属性。重新复习一下红黑树的性质:

 

1.所有节点都是有颜色的，red or black

2.root节点是black

3.叶节点都是black

4.red节点的左右子节点的颜色必须是black

5.从任何一个内部节点(包括根节点)开始,到任何一个叶节点，所有路径上的黑色节点数量相等，计算黑色节点时，不包括起始节点。

 

 

因为插入的是一个red节点，所以性质1,3,5不会受到影响，那么2和4在哪些情况下被违反呢？

Case1:如果我们插入的节点刚好是作为根节点，那么违反了性质2

    对于case1,只需改变节点颜色即可，红色变黑色即可。

Case2:如果插入节点的父节点是red，那么就违反了性质4。

但是对于case2，需要分析了。先记这个新插入的节点为z,他的父节点为p(z),祖父节点是p(p(z))。
因为color[z]=red, color[p(z)]=red,根据性质4，所以color[p(p(z))]=black,因为要保持属性5，即从p(p(z))到叶节点的黑色节点数量一致，所以p(p(z))如果有另外的一个子树，那么另外一个子节点肯定是red。
因为z与p(z) ,p(z) 与p(p(z))的左右子树的关系，可以分4种情况，我们可以穷举：z是p(z)左树；z是p(z)右树； p(z)是 p(p(z))左树；p(z)是 p(p(z))右树。两两组合，共四种情况。

如下图:

针对这种情况,设计算法:

    首先,改变z的父节点和兄弟节点,祖父节点为相反的颜色，即color[p(z)]=black,color[p(p(z))]=red, color[w]= black，同时让z指向他的祖父节点。拿第一种图做说明，如图所示:

此时，分两种情况讨论
1.如果z是根节点，直接设置color[z]=black,算法结束
2.如果z不是根节点，那么他的父节点会有红黑两种情况：
2.1如果color[p(z)]=black,算法就结束，红黑树性质调整完毕。
2.2如果color[p(z)]=red,那么根据z与p(z)的左右子树关系，分为两种情况，如图:

不管哪种情况，如果p(z)是根节点，直接color[p(z)]=black,调整完毕。

所以我们讨论的是p(z)不是根节点，p(z)是有父节点的，所以图更新如下:
我们先不关心这个A节点与B节点的左右关系。

我们先讨论第二种情况。因为第一种情况会经第一种演变出来。

首先将z指到他的父节点，然后做左旋。如图：

经过这样的左旋转换，这样就到了我们上面所讨论的第一种情况了。

然后我们讨论第一种情况的处理方案,我们做如下变更,如图所示:

首先设置color[p(z)]=black, color[p(p(z))]=red,然后以p(p(z))位锚点，做右旋。这样就完成了整个树的调整。

梳理一下我们的逻辑过程:

删除一个节点

首先思考一下二叉查找树的删掉算法
删除一个节点，按照节点是否有左右子树，可以分为以下几种情况
1.删掉的节点左右子树都存在
2.删除的节点只有左子树
3.删除的节点只有右子树
4.删除的节点无子树

如下图所示，不同情况的Z节点

删掉的节点左右子树都存在

就用上图分析,假如删除的是B节点,即左右子树都存在，那么算法应该是这样的:
首先沿着B节点的右子树寻找最小的节点x。
然后将最小节点x的值赋值到B节点处,删除x,x如果有右子树，保持x子树的关系。
在这幅图中，就是沿着B的右子树的左子树，寻找到了F这个节点，然后将F的值赋值给B，S节点保持在F节点的父节点N的左子树上。
也就是说我们实际上删除的是F，而不是B，只不过B节点的值改变而已。
这种情况下，就会归结到下面两种场景了。
删除的节点只有右子树
删除的节点无子树
如下图所示过程:

删除的节点只有左子树

将N节点的左子树的父节点设置为N节点的父节点D，判断D与N的左右关系，将F设置为D的左/右子树。如图

删除的节点只有右子树

逻辑类似上面，不在赘述。

删除的节点无子树

直接删除。

红黑树的删除操作是需要在上述算法的基础上进行红黑树调整，以达到保持红黑树的性质。

针对上述四种情况，删除的节点分别是F，N，P，K。在一个红黑树中，如果这些节点的颜色都是红色，他会违背红黑树性质吗？复习一下红黑树性质

1.所有节点都是有颜色的，red or black

2.root节点是black

3.叶节点都是black

4.red节点的左右子节点的颜色必须是black

5.从任何一个内部节点(包括根节点)开始,到任何一个叶节点，所有路径上的黑色节点数量相等，计算黑色节点时，不包括起始节点。

 

 

第1,3,5性质不会违背。

分析剩下的性质在何种场景下会违背:

1.      当删除的节点是root节点，并且它只要一个红色的后续节点，那么就会违背性质2,但是root节点不可能是红色的节点，所以删除红色节点不可能违反性质2。

2.      当删除的节点的是红色节点，那么它的父节点肯定是black,它的子节点肯定是black,,所以也没有问题。

 

综上所述，如果删除的是红色的节点，不用做任何处理。

所以只需要处理删除的节点color是black的情况。而且根据我们的对二叉查找树的删除操作算法的分析，最后被真正删除的节点无非就三种情况
删除的节点只有左子树
删除的节点只有右子树
删除的节点无子树
而且删除的节点是黑色的，那么他们的父节点的颜色呢？兄弟节点的颜色呢？我们逐一分析。

我们对上面这个图进行分析，颜色不确定的节点用黄色代替。

假设D节点是我们要删除的节点，用y表示。y的子树用x表示，x可能为空节点，即y没有子树。

如果x是空节点，那么图就应该是这样的

在这种情况下，删除y，

如果B是黑色的，那么将C直接变成red即可

如果B是红色，那么以B作为锚点，进行左旋，即可。

继续分析x不为空的情况：

如果X是红色的情况下，删除了y，我们只需将y的黑色让x继承，即X的节点由红色变成黑色即可。

上面的情况都很好处理，需要我们认真分析的情况是X是黑色，Y是黑色的情况。看图:

B的颜色，C的颜色，B与y的左右关系都是我们需要分析的。

对于右边的结果，可以有两种场景:

1.C如果是red，那么B只能是black

2.C如果是black，那么B的颜色黑红都可以

就在这两种情况下分析，穷举所有情况

C如果是red，那么B只能是black

w指向C,根据红黑树的性质，那么w的后代必须都是黑

对于这种情况，我们将B和C的颜色分别设置为red和black,然后以B为锚点进行左旋，w重新指向x父节点的另外一个子节点。过程如图所示:

经过这样的转换，最后的结果其实也是第二种情况的一个子情况。

C如果是black，那么B的颜色黑红都可以

因为B(X的父节点)的颜色不确定，所以我们暂时先不关心B,以C(用w表示,X的兄弟节点)为切入点进行分析，根据w的子节点的情况可以分为如上图所示的4种情况，那么就对上述4中情况逐一分析。

Case2.1

将w的颜色变成红色,x指向他的父节点B。此时分析B的颜色:

1.如果B是黑色，算法执行完毕，调整完毕

2.如果B是红色，设置B的颜色为黑色即可。调整完毕

Case2.2与 Case2.4

其实就是w的右子树的颜色为red的情况

我们执行如下操作:

Color[w]=color[p(x)]

Color[p(x)]=black

Color[right[w]]=black

然后以B为锚点进行左旋。

 

具体的解释:

1.设置w的颜色为B的颜色

2.B的颜色设置为黑色

3.w的右子树的颜色设置为黑色

由于B的颜色不确定，经过上述操作后，w的颜色也不确定，但是我们不必关系。

4. 以B为锚点进行左旋。

因为我们使用要保持树的根节点为黑色，这个时候需要进行最后一步的处理，将树根节点设置为黑色即可。

Case2.3

即w的左子树是红色，右子树为黑色。

进行如下操作:

w 设置为 红色

w的左子树设置为黑色

以w为锚点进行右旋

如图所示

分析最后的结果，又进入了case2.2和2.4的情况。