小波与滤波器组（3）

右图是整个滤波器组重建原信号的一个过程。则整个过程在Z变换下，课由下列公式进行推导。

由上面的公式可知，T(Z)可以转化为两个多项式X(Z)和X(-Z)的和，根据多项式原理；若想要T(Z)=N*X(Z)，则需要满足X(-Z)部分等于0，而X(Z)部分不等于0。

也就是必须满足上诉等式，重构才能成立。后面的Z的-L次方是常数在Z变换下的结果。逆变换之后不会改变原来的信号。由于上面的式子是X(Z)的系数，所以又被称为失真项，而下面的式子则是X(-Z)的系数，也就是原信号平移一个PI相位之后的结果，因此被称为混叠项。

从混叠项开始推导，由于H0和F0是低通滤波器，而H1和F1则是高通滤波器。根据多项式的一些基本原理，因此最简单的有H0(-Z)=F1(Z)，F0(Z)=-H1(-Z)。

假设,P0(Z)=F0(Z)H0(Z)，P1(Z)=F1(Z)H1(Z)。则将上面的等式代入，可以得到P0(Z)=-P1(-Z)。因此有P0(Z)-P0(-Z)=2Z(-L)，由于公式的左边是奇函数，所以L必须为奇数。同时Z的-L次方是一个奇函数。令P(Z)=(Z(L))P0(Z)，则上面的等式可以转化为：

P(Z)+P(-Z)=2，转化过程利用到了Z的-L次方为奇函数，其中P(Z)的偶数项全部等于0。因为P(Z)和P(-Z)的关系是平移了一个PI相位，因此他们之间偶次项系数应该相等，而奇次项则互为相反数（这一点可以放到傅里叶变换域下面进行推导）。到这里是不是和之前的理想滤波器组有类似的感觉，因此P(Z)也被称为半带滤波器。

推导到这一步，可以发现整个方程的求解就比较容易了。也就是满足偶数次项为0，而奇数次项相加等于2的P(Z)非常多。比如下面这个例子：

将Z的L次方视作一个平移的话，可以近视看做P(Z)=H0F0。因此只需要求上面这个方程的根，并对这些根进行分配就可以了。

将之前的两个方程进行中的Z替换成-Z，可以得到另外两组方程，四个方程组组合成一个矩阵乘法。如下图所示，

由于上面给出的限定条件不够多，属于两个方程求出四个未知量，导致最后求解比较麻烦。因此可以在上面的条件里附加一些额外的条件来简化求解过程。

最简单的附加条件是：H1(z)=H0(-z)——使得高通是低通滤波器的一个平移就可以了。然而这样的条件过于强，导致除了Haar小波之外没有有限脉冲响应的滤波器组。

根据上面的条件代入到公式中，可以得到H02(z) - H02(-z) =2z-L。将滤波器分为偶数项和奇数项。则H(Z)=a（Z2）+Z(-1)a(Z2)，代入公式可以得到4*Z^(-1)a(Z^2)b(Z^2)=2*Z^(-L)。如果是有限脉冲响应，则在计数和偶数项只有一项的系数不为0。