小述 混沌同步方法：Lyapunov指数法

小述   混沌同步方法：Lyapunov指数法

一、概念理解

         混沌同步：可以认为是两个混沌系统之间的一个最简单的合作。通过一个弱耦合，两个系统可以有一个相似的行为，从长远来看，系统之间的差值趋于0。 

        弱耦合这里的弱：意味着在大多数情况下，两个系统能够独立地表现，而不是一个系统控制另一个系统。

二、同步稳定性

1、

       

考虑一个自治系统

第一点：当驱动信号s(t)是constant(fixed point)或者periodic(limit cycle)时，稳定性问题的研究，可以通过评估Dx的eigenvalues或者Floquet multipliers. 然而，如果响应系统被一个混沌信号驱动，这个方法不起作用。

第二点：可行的解法是——计算Eq(2.9)的Lyapunov exponents.

在driver–response coupling schemes中,这些指数被称为conditional Lyapunov exponents，because they are the Lyapunov exponents of the response system under the explicit constrain that they must be calculated on the trajectory s(t) [36,41]. 

或者，这些指数被称为transveral Lyapunov exponents, because they correspond to directions which are transverse to the synchronization manifold x ≡ y [43,53].

第三点：对于驱动信号的初始条件s0和微小位移初始方向u0 = e(0)=|e(0)|，这些指数可以被定义为

同步误差e按照e(t) =Z(s0; t)e0演化，然后，Z确定是否误差在一个特定的方向上收缩或扩张，但是，多数情况下，the calculation cannot be made analytically, and therefore numerical algorithms should be used [54–56].

第四点：必要条件：Lyapunov exponents<0是同步的必要条件

全局稳定：conditional Lyapunov exponents由一个平均时间得到，因此，它们在整个混沌吸引子上描述全局稳定性。

存在问题：these exponents<0,不过系统并不完全同步。从而需要附加一些条件，以一个充要条件保证同步。

稳定性判定：通过构造Lyapunov函数满足如下条件

三、一个简单的例子

主系统：

用x来驱动，得出

响应系统：

目的：

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例子：

这里Eq(7)类似于Eq(9)，但初始条件不同。

按照上面的过程，Lorenz混沌系统变为：

故可得两系统同步。

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