最小生成树：Swift实现

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一句话描述最小生成树（Minimum Spanning Trees - MST）问题：
就是求解一个所有边都带权值的图生成权值和最小的树结构。

两个碉堡的天才

• Kruskal
• Prim

两个（贪心）算法

• Kruskal算法 其算法复杂度O(ElgV)
• Prim算法 其算法复杂度O(ElgV)

几个抽象的术语

• 切割
• 横跨
• 轻量级边

最小生成树的形成

每一步进行树边的选择时候要遵守循环不变式的边集合A：

每步循环之前，A是某棵最小生成树的一个子集。

每步选择时候，我们选择一条边(u, v)加入A，使得A不违反循环不变式，即A∪{(u, v)}也是该棵最小生成树的子集。我们把这样的边叫做安全边。

伪代码

GENERIC-MST(G, w)

A = ?while A 未生成树    找到一个对A来说的安全边    A = A ∪ {(u, v)}return A

定理

设G = (V, E)是一个边E上定义实数权值w的连通无向图。设集合A是E的一个子集，且A包括在图G的某棵最小生成树中，设(S, V-S)是图G尊重集合A的任意一个切割，又设(u, v)是横跨切割(S, V-S)的一条轻量级边。那么边(u, v)对于集合A是安全的。

证略。。。

Kruskal算法

在Kruskal中，集合A是一个森林，每次加入集合A中的安全边永远是权重最小的连接两个不同分量的边。

中心思想

关键点在于如何在每步查找到安全边：
在所有连接森林中两棵不同树得边里面，找到权重最小的边(u, v)。

步骤如下：

1. 初始化：将A初始化为空集，并创建|V|棵树，每棵树仅一个结点。
2. 根据边的权值非递减进行检查，如果端点u和v不属于同一棵树则加入森林，否则导致环路形成。并将两棵树的结点合并。

算法开销

伪代码

MST-KRUSKAL(G, w)

A = ?for each vertex v ∈ G.V    MAKE-SET(v)将G.E中的边按照其权值w非递减进行排序for each edge(u, v) ∈ G.E, 按照非递减的顺序遍历    if FIND-SET(u) != FIND-SET(v)        A = A ∪ {(u, v)}        UNION(u, v)return A

Swift实现

Prim算法

中心思想

算法开销

伪代码

MST-PRIM(G, w, r)

for each u ∈ G.V    u.key = 无穷    u.π = NILr.key = 0Q = G.Vwhile Q != ?    u = EXTRACT-MIN(Q)    for each v ∈ G.Adj[u]        if v ∈ Q and w(u, v) < v,key            v.π = u            v.key = w(u, v)

Swift实现