【BZOJ3612】【HEOI2014】平衡 整数划分、
来源:互联网 发布:网络语皮是什么意思 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 13:19
题意:
有一个杠杆,半长为n,在(2n+1)个整数坐标各有一个质量相同的砝码。
现在给出n,然后再给出要取走的砝码个数,问使得最终杠杆依然平衡的最终方案数是多少。
(文末会给出原题帽)
分析:
数据范围不大,我们可以写整数划分。
f[i][j]表示将i划分成j个互不相同的正整数,且最大不超过n 的划分方案数。
这里说一下这道题的整数划分。
我们不妨先来反向思考一下。---------------------------------------------------------------------
首先考虑f[i][j](下图每一列都代表一个数,高度就是数值)
它可以在底下添加一行,进行转移
分为两种情况:
Ⅰ. 转移过后最小数不为1
Ⅱ. 转移过后最小数为1
然后f[i][j]可以向这两个方向转移。
而我们还需要保证最大数不能大于n,那么如下图
在最后加入一层,使得当前所有整数都+1时,发现出现了一个101,而不妨当作n是100
那么显然我们可以很方便地清掉这个数带来的情况。
即当前是f[i][j],那么最后一列是大于n的情况显然只能是有一个整数n+1
不看这个n+1,情况数是f[i-(n+1)][j-1] ,我们把这个情况集删掉就好了。
正向考虑:-----------------------------------------------------------------------------------
首先不妨把刚才的图片按顺序记作图1、2、3、4。
我们把f[i][j](图1)这么多方案分成两种情况:
Ⅰ. 最小的数不为1:
好说。 直接由f[i-j][j]在底下加一行得到。就是图2。
此时原来划分出来的整数不同,新的这些整数显然依然不同。
Ⅱ. 最小的数为1:
那么显然它可以由f[i-j][j-1]转移得到,
即在f[i-j][j-1]代表图形下面整体+1,最后加上一个整数1,即图3。
注意此时f[i-j][j-1]代表的所有图形整数都不同(性质/定义),那么新加1后所有整数依然不同,且均>=2
这个时候再来个整数1,依然满足所有整数不同。
但是我们注意到还需要让最大数不能超过n,
所以有了图4。
也就是我们要减去最大数超过n的情况,方法前文图下有说明。
这道题难点解决了。
现在说一下其它细节:
f[i][j]算出来后直接暴力枚举两边的权值,及用点个数(不要忘了中心支点)
然后check。end。
代码:
#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#define N 101000#define M 15using namespace std;int n,m,p,w;int f[N][M]; // f[i][j] 表示//将i划分成j个互不相同的正整数,// 且最大不超过n 的划分方案数int main(){int i,j,k,g;f[0][0]=1;for(scanf("%d",&g);g--;){scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);if(m==1){puts("1");continue;}w=n*(m-1);for(i=1;i<=w;i++)for(j=1;j<m;j++){f[i][j]=(i>=j?(f[i-j][j]+f[i-j][j-1]):0);f[i][j]=(i>=n+1)?(f[i][j]-f[i-n-1][j-1]):f[i][j];f[i][j]=(f[i][j]%p+p)%p;}long long ans=0;for(i=1;i<=w;i++)for(j=1;j<m;j++)ans+=f[i][j]*f[i][m-j],ans%=p;for(i=0;i<=w;i++)for(j=1;j<m-1;j++)ans+=f[i][j]*f[i][m-1-j],ans%=p;printf("%lld\n",ans);}}
原题面:
Ⅰ. 最小的数不为1:
好说。 直接由f[i-j][j]在底下加一行得到。就是图2。
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