华为机试—N皇后问题（高级题160分：两种回溯法解决 吐血整理）

一、问题描述：
    在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于再n×n的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不妨在同一行或同一列或同一斜线上。
输入：
    给定棋盘的大小n (n ≤ 13)
输出：
    输出有多少种放置方法。

二、解题思路：
    要解决N皇后问题，其实就是要解决好怎么放置这n个皇后，每一个皇后与前面的所有皇后不能在同一行、同一列、同一对角线，在这里我们可以以行优先，就是说皇后的行号按顺序递增，只考虑第i个皇后放置在第i行的哪一列，所以在放置第i个皇后的时候，可以从第1列判断起，如果可以放置在第1个位置，则跳到下一行放置下一个皇后。如果不能，则跳到下一列...直到最后一列，如果最后一列也不能放置，则说明此时放置方法出错，则回到上一个皇后向之前放置的下一列重新放置。此即是回溯法的精髓所在。当第n个皇后放置成功后，即得到一个可行解，此时再回到上一个皇后重新放置寻找下一个可行解...如此后，即可找出一个n皇后问题的所有可行解。

三、复杂度分析：
    关于N皇后问题的复杂度问题可以说是众说纷纭了，自己也改变过好几次，刚开始以为棋盘是n行n列，所以理所当然应该是n^2,后来发现在每列选择可否放置的比较上又做了一次循环，所以应该是n^3，但想了很久，发现判断可否放置的时候不是每次都循环到n,它是根据皇后i的取值而变化的，所以复杂度应该是1/3 n^3左右，即是小于n^3的。

四、测试代码：
    两个实现方法，一个是递归回溯，一个是迭代回溯，思路都一样，只是形式不同罢了。

    

递归回溯

#include <stdio.h>#include <math.h>   #define N 15     int n; //皇后个数   int sum = 0; //可行解个数   int x[N]; //皇后放置的列数     /*   *判断函数，判断第k个皇后是否可以放在某一个位置   *如果与之前的皇后出现在同一列或同一对角线则放置失败，返回0，否则返回1  */  int place(int k)   {       int i;       for(i=1;i<k;i++)         if(abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]) || x[k] == x[i])           return 0;       return 1;   }     /*   *求解可行解函数，当第t个皇后可以放置在t行的某一位置时，继续放置下一皇后，直到   *所有皇后放置结束，如果某一皇后不能放置，则移向下一列放置，如果这一列都不能放   *置或所有皇后放置结束，返回上一皇后重新放置，最终返回所有可行解个数。  */  int queen(int t)   {       if(t>n) //当放置的皇后超过n时，可行解个数加1      sum++;       else        for(int i=1;i<=n;i++)         {             x[t] = i; //标明第t个皇后放在第i列             if(place(t)) //如果可以放在某一位置，则继续放下一皇后               queen(t+1);          }       return sum;   }     int main()   {       int t;       while(~scanf("%d",&n)){   t = queen(1);   if(n == 0) //如果n=0，则可行解个数为0，这种情况一定不要忽略     t = 0;   printf("%d\n",t); sum=0;}    return 0;   } 

迭代回溯

#include <stdio.h> #include <math.h>  #define N 15     int n;   int sum = 0;   int x[N];     int place(int k)   {       int i;       for(i=1;i<k;i++)         if(abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]) || x[k] == x[i])           return 0;       return 1;   }     int queen()   {         x[1] = 0;         int t=1;         while(t>0)         {             x[t]+=1;             while(x[t]<=n && !place(t))                 x[t]++;             if(x[t]<=n)               if(t == n) {for(int k=1;k<=n;k++)printf("%d  ",x[k]);printf("\n");sum++; }            else                x[++t] = 0;             else              t--;         }         return sum;   }     int main()   {       int t;  while(scanf("%d",&n)){ t = queen();   printf("%d\n",t);sum=0;}    return 0;   }  

五、测试结果：

六、总结

      迭代回溯的注释因为和递归回溯差不多，所以就不再附注了。在这里我们可以看到，递归回溯非常简单，结构很清晰，但它有一个潜在的问题存在，即当随着变量n的增大，递归法的复杂度也将成几何级增长，也有可能会出现重复的情况，所以我们在解决问题时，如果能用迭代法解决，最好还是不要用递归法，除非你已经对这个递归了如指掌了。
      通过这个N皇后问题，我想大概已经把回溯法讲得很清楚了吧，回溯法得到的解展开就是一个树，很多方法都是可以通过回溯法来解决的，效率很高，但如果基数过大的话，回溯法就显得不是那么适用了，这也是回溯法的弱势吧。比如说这个N皇后问题，好像当n>60的时候，回溯法就不能完全地解决问题了，这时可以考虑用概率算法来解决，它可以解决很大的基数，只不过结果不是很精确而已。所以我们在面对一个问题时，具体是使用什么算法还是要结合实际情况来考虑的，目的都是更方便、更准确地解决问题。