流形

    所谓流形表示一个拓扑空间(局部欧拉空间)。为了更清楚的说明什么是流形，举个祖先曾经的一个发现的例子：他们最开始认为地球是一个平的，尽管现在科学证据证明地球是一个圆球。这也就是说，地球并不是我们所见的那样是一个平面。所以通俗来讲，从小范围看一个物体时一个平面状的可以说该物体时一个流形体。从这个角度而言，流形就是一个一般的我们在上面的生活的物体，在这个物体上面，我们面临着平面/圆的问题。

   更简明的说，任何可以被“绘制”出来的对象都是一个流形。

                                           环面1                                                                环面2

    我们知道，拓扑学的一个目标就是找出区分流形的方法。举个例子来说，一个圆和一个封闭的圈拓扑是一样的。不管他们看起来多么的不同，他们都是拓扑结构都是一样的。如下图所示，一个圆和一个圈，圈可以是很多样子，但是他们的拓扑结构都是相同的。同理，上图的马克杯和环面拓扑结构是一样的。尽管它们看起来有很大的不同。

                                    圆                                                                封闭的圈

  作为一个拓扑空间，一个流形可以是紧凑的，也可以是松散的。相连的，间断的。通常来说，过去人们使用流形(manifold)这个词意思是一个拥有边界的流形对象。同样本文中的流形也是这个意思。然后，有些追求精确的作者会用开放流形(open manifold)来表示一个非紧凑的流形(没有边界)，对于有边界的紧凑的流形，使用闭合流形(closed manifold )这个属于来表示。

   如果一个流形包含自己的边界，则称该流形为“边界流形”。在N(N为整数)维空间中一个封闭的单位球体是一个边界流形。它的边界是单位球面。同理，可以把这个概念推广到带尖角的流形。根据定义，流形上的每一个点和n维空间的中的开球（）同胚。此外，一个流形必须拥有可数基空间。也就是说，一个流形通常被假设称一个有限维的对象。

  光滑流形(也称为可微流形)....

  流形的一个基本的例子是 欧拉空间，它的很多属性都可以直接推广到流形上。此外，欧拉空间的任何光滑子集边界，比如圆，球面，是一个流形。使用流形可以更好的研究几何体，拓扑学，分析。子流形是流形的子集。这个子流形本身也是一个流形，但是维数更低。比如球面方程是一个子流形。在欧拉空间中有很多例子来说明子流形。事实上，Whitney在1930年表明任何流形都可以嵌入到2N+1维空间中。

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