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统计参数的矩估计

来源：互联网发布：网络信息收集器编辑：程序博客网时间：2024/05/16 14:57

统计推断问题有两类，一类是假设检验问题。一类是估计问题。

假设检验问题已经提过，这里介绍一类估计问题。

定义： $E(X)$ 表示 X 的数学期望。那么， $\mu_l = E(X^l)$ 称作 X 的 l 阶矩。

现在有个已知分布类型的总体，又有一系列数据样本 $X_1, X_2, X_3, ..., X_n$ 。现在要确定总体的估计，我们只需要对总体分布的参数进行估计。

具体提法如下：

1）设总体的分布中未知的参数是 k 个，那么便依次计算： $\mu_1, \mu_2, \mu_3, ..., \mu_k$ （用未知参数表示）。

2）反解出用矩表示的未知参数： $\theta_1, \theta_2, \theta_3, ..., \theta_k$ 。

3）用样本矩： $A_t = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i^t$ 的值估计 $\mu_t (1 \leq t \leq k)$ 。

4）代入（2）中得到的参数表示，得到参数的估计： $\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2, \hat{\theta}_3, ..., \hat{\theta}_k$ 。

举两个例子：

Ex1. X 在 [a, b] 上均匀分布， $X_1, X_2, X_3, ..., X_n$ 是 X 的样本，现在对 a, b 进行矩估计。

1) $\mu_1 = E(X) = \frac{a+b}{2}$

$\mu_2 = E(X^2) = D(X) + E^2(X) = \frac{(b - a)^2}{12} + (\frac{a+b}{2})^2$

2) $a = \mu_1 - \sqrt{3(\mu_2 - \mu_1^2)}$

$b = \mu_1 + \sqrt{3(\mu_2 - \mu_1^2)}$

3) ...

Ex2. 设总体均值是 μ，方差是 $\sigma^2$ ， $X_1, X_2, X_3, ..., X_n$ 是 X 的样本，现在估计 μ， $\sigma^2$ 。

第一步同上，得到两个矩。然后反解：

$\mu = \mu_1$

$\sigma^2 = \mu_2 - \mu_1^2$

用样本矩来估计总体矩。得到估计值：

$\hat{\mu} = \overline{X}$

$\hat{\sigma^2} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{2} - \overline{X}^2$

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