hdu oj 1061 Rightmost Digit （快速幂算法）

这里首先要讲解一下快速幂算法：

快速幂取模算法

在网站上一直没有找到有关于快速幂算法的一个详细的描述和解释，这里，我给出快速幂算法的完整解释，用的是C语言，不同语言的读者只好换个位啦，毕竟读C的人较多~

所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。[有读者反映在讲快速幂部分时有点含糊，所以在这里对本文进行了修改，作了更详细的补充，争取让更多的读者一目了然]

我们先从简单的例子入手：求a^b % c = ?

算法1.首先直接地来设计这个算法：

int ans = 1;for(int i = 1;i<=b;i++){ans = ans * a;}ans = ans % c;

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。

那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：a^b%c=(a%c)^b%c.这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过，不过这里为了方便大家的阅读，还是给出证明：

引理1：a^b%c = (a%c)^b%c

上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。

 

证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，

于是不用思考的进行了改进：

算法2：

int ans = 1;a = a % c; //加上这一句for(int i = 1;i<=b;i++){ans = ans * a;}ans = ans % c;

聪明的读者应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。

算法3：

int ans = 1;a = a % c; //加上这一句for(int i = 1;i<=b;i++){ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余 }ans = ans % c;

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。

快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了。

 

那么我们可以得到以下算法：

算法4：

int ans = 1;a = a % c;if(b%2==1)ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中k = (a*a) % c; //我们取a2而不是afor(int i = 1;i<=b/2;i++){ans = (ans * k) % c;}ans = ans % c;

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过

ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。

 

形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。

算法5：快速幂算法

 

int ans = 1;a = a % c;while(b>0){ if(b % 2 == 1)ans = (ans * a) % c;b = b/2;a = (a * a) % c;}

将上述的代码结构化，也就是写成函数：

int PowerMod(int a, int b, int c){int ans = 1;a = a % c;while(b>0){ if(b % 2 = = 1)ans = (ans * a) % c;b = b/2;a = (a * a) % c;}return ans;}

本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。

以下内容仅供参考：

扩展：有关于快速幂的算法的推导，还可以从另一个角度来想。

=？ 求解这个问题，我们也可以从进制转换来考虑：

将10进制的b转化成2进制的表达式：

注意此处的要么为0，要么为1，如果某一项，那么这一项就是1，这个对应了上面算法过程中b是偶数的情况，为1对应了b是奇数的情况[不要搞反了，读者自己好好分析，可以联系10进制转2进制的方法]，我们从依次乘到。对于每一项的计算，计算后一项的结果时用前一项的结果的平方取余。对于要求的结果而言，为时ans不用把它乘起来，[因为这一项值为1]，为1项时要乘以此项再取余。这个算法和上面的算法在本质上是一样的，读者可以自行分析，这里我说不多说了，希望本文有助于读者掌握快速幂算法的知识点，当然，要真正的掌握，不多练习是不行的。

（By  夜せ︱深   感谢作者）参考的是网上的一篇讲解的非常好的。

有了前面的基础，然后我们再来做题就比较方便啦：

Rightmost Digit

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 35199    Accepted Submission(s): 13362

Problem Description

Given a positive integer N, you should output the most right digit of N^N.

 

Input

The input contains several test cases. The first line of the input is a single integer T which is the number of test cases. T test cases follow.
Each test case contains a single positive integer N(1<=N<=1,000,000,000).

 

Output

For each test case, you should output the rightmost digit of N^N.

 

Sample Input

234

 

Sample Output

76
Hint
In the first case, 3 * 3 * 3 = 27, so the rightmost digit is 7.In the second case, 4 * 4 * 4 * 4 = 256, so the rightmost digit is 6.
 

 

Author

Ignatius.L

 

题目的意思已经非常明确了，就是求n^n的个位数，求它的个位数就相当于进行mod 10运算，这里就直接用快速幂算法，就可以得出结果，题目给定的N可能会比较大，所以用long long比较保险。

下面就是ac的代码：

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;long long  Calculation(long long a,long long b,int c)//快速幂算法{    int ans=1;    a=a%c;    while(b>0)    {        if(b%2==1)            ans=(ans*a)%c;        b=b/2;        a=(a*a)%c;    }    return ans;}int main(){    int t;    long long n,sum;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {       scanf("%lld",&n);       sum=Calculation(n,n,10);       printf("%d\n",sum);    }    return 0;}