幂法求矩阵的最大特征值和对应特征向量

【算法原理】
幂法是通过求矩阵特征向量来求出特征值的一种迭代法.其基本思想是:若我们求某个n阶方阵A的特征值和特征向量,先任取一个初始向量X(0) (注：x(0)可以用A的特征向量线性表示),构造如下序列:
       X(0)  ,X(1)  =AX(0)  ,X(2)  =AX(1) ,…, X(K)  =AX(K+1)  ,…  ⑴
       当k增大时,序列的收敛情况与绝对值最大的特征值有密切关系,分析这一序列的极限,即可求出按模最大的特征值和特征向量.
       假定矩阵A有n个线性无关的特征向量.n个特征值按模由大到小排列:
                         │λ1│>=│λ2│>=…>=│λn│              ⑵
    其相应的特征向量为:
                         V1 ,V2 , …,Vn                                       ⑶
     它们构成n维空间的一组基.任取的初始向量X(0)由它们的线性组合给出
                         X(0)=a1V1+a2V2+…+anVn                         ⑷
     由此知,构造的向量序列有
          X(k)  =AX(k-1) = A2X(k-2) =…=AkX(0)  = a1λ1kV1+a2 λ2kV2+…+anλnkVn                    ⑸
   下面按模最大特征值λ1是单根的情况讨论:
      
 由此公式(5)可写成
                   X(k) = λ1k (a1V1+a2 (λ2/λ1)kV2+…+an(λn/λ1)kVn  )       ⑹ 
   若a1≠0，由于|λi/λ1 |<1 (i≥2),故k充分大时，
                  X(k) = λ1k (a1V1+εk)
    其中εk为一可以忽略的小量，这说明X(k)与特征向量V1相差一个常数因子，即使a1=0，由于计算过程的舍入误差，必将引入在方向上的微小分量，这一分量随着迭代过程的进展而逐渐成为主导，其收敛情况最终也将与相同。
特征值按下属方法求得：
            λ1 ≈Xj(k+1)/ Xj(k)                                        ⑺
其中Xj(k+1)， Xj(k)分别为X(k+1)，X(k)的第j各分量。
    实际计算时，为了避免计算过程中出现绝对值过大或过小的数参加运算，通常在每步迭代时，将向量“归一化”即用的按模最大的分量         max  |Xj(k)| 1≤j≤n
去除X(k)的各个分量,得到归一化的向量Y(k),并令X(k+1) = AY(k)


由此得到下列选代公式 :
          Y(k) = X(k)/║ X(k)║∞
           X(k+1) = AY(k)           k=0,1,2,…             ⑻
当k充分大时,或当║ X(k)- X(k+1)║<ε时,
          Y(k)≈V1
          max  |Xj(k)| ≈ λ1                                ⑼
          1≤j≤n

由于CSDN博客的编辑器不太好用，所以关于幂法求特征值的详细解释请参考《数值分析》(第三版) 北航出版的教材的相关内容。下面给出本书P50例题的源代码：

#include <iostream>#include <math.h>using namespace std;#define  N (3)/************************************************************************//*求向量按模最大值(相当于向量的无穷范数)*//************************************************************************/double GetMax(double *Array){double max=0;for (int i=0;i<N;++i){if (max < fabs(*(Array+i))){max = fabs(*(Array+i));}}return max;}/************************************************************************//*矩阵相乘函数*//************************************************************************/void matrixMulti(double array[3][3],double *a0){int i ,j; double *result = new double[3];memset(result,0,3*sizeof(double));for (i=0;i<N;++i){for (j =0;j<N;++j){result[i]+=array[i][j]*a0[j];}cout<<"a0["<<i<<"]=" <<result[i]<<endl;}for (i=0;i<N;++i){*(a0+i)=result[i];}delete [] result;}int main(){double array[N][N] = {{6,-12,6},{-21,-3,24},{-12,-12,51} };//矩阵Adouble a0[N]={1,0,0};//初始向量int count=0;//迭代次数double maxElemt1,maxElemt2;do{++count;    maxElemt1=GetMax(a0);for (int j=0 ;j<N;++j){*(a0+j)=*(a0+j)/maxElemt1;//列向量归一化}matrixMulti(array,a0);maxElemt2 = GetMax(a0);cout<<"maxElemt2 = "<<maxElemt2<<endl<<endl;}while(fabs((maxElemt2-maxElemt1)/maxElemt1 )> 0.00000001);cout<<"迭代次数n = "<<count<<endl;;cout<<"特征值="<<maxElemt2<<endl;return 0;}

最终结果如下图所示：