求质数1 C实现

该问题出自《C语言名题精选百则技巧篇》

试编写一个程序，找出前N（如200）个质数。

    最初想到的办法就是让某个变量i从2到N，然后检查它是不是质数，如果是的话就显示出来，如果不是就检查下一个，这样会让程序变的很慢，每一个要检查的数i，都要被2~i-1,除，如果余数为0则不是质数，如果全部余数都不为0，则该数是质数。我们现在想办法来缩小范围。包括待检测的变量的范围和检测变量需要的被除数2~i-1

（1）缩小待检测的变量的范围

    我们可以考虑到，2是质数，但是所有2的倍数都不是质数，如果让i从2变到N，就会很冤枉的测试了4,6,8,10,....这些2的倍数，因此在待测试的变量里将除去2以外的偶数都去掉，只测试2和奇数；

     另外，3是质数，所有3的倍数都不是质数，因此也可以将3的倍数去掉不测试；

     现在能将所有2和3的倍数都去掉，将6的倍数去掉，任意连续的6个数，6n,6n+1,6n+2,6n+3,6n+4,6n+5,这六个数里，6n是6的倍数，6n+2是2的倍数，6n+3是3的倍数，6n+4是4的倍数，在这连续的6个数里，至少包含两个2的倍数和1个3的倍数，在这6个数里，需要检测的变量只有6n+1和6n+5，因此现在工作量变成了原来的2/6=1/3.

    并且我们可以计算要考虑的这些之间的规律，6n,6n+1,6n+2,6n+3,6n+4,6n+5，当n=i-1时要测试的最后一个值与n=i时要测量的第一个值的距离是2，本组第一个要测试的值和第二个要测试的值之间的距离是4，因此，距离是2,4,2,4...可以让待测试的值从5开始，即i=0时的最后一个值开始，初始gap=2,下一个值就是6-gap（4），下一次是6-gap（2）。

（2）缩小被除数的范围

    我们之前考虑被除数是2~i，按照质数的定义，若i只能被1和i本身整除，那么i是质数，否则i不是质数。所以我们需要用2,3,4,5,6,...,i-1去除i，如果都除不尽，则i是质数。

     但是我们可以想一想，当i>2时，有没有一个整数可以被i-1整除的，没有，因为如果i不是质数，那么i=a*b,a和b既不是1也不是i，因此，a和b的最小值为2，假设a<b，则a>=2,b<=i/2，如果i能被a整除，就一定能被b整除，因此，去除i的数用不着是2~i-1，只要是a和b里面最小的那个值a的范围就可以了，因此可以将范围缩小到2~i/2。

     那么2~i/2是否还可以缩小范围呢，i=a*b,a和b不同同时大于根号i，因为如果a和b都比根号i大，则a*b>i,因此，a不能大于根号i，a和b里面的小的那个数a的范围又缩小了，2~根号i，现在去除i的数缩小范围到2~根号i。

      现在我们还想继续缩小范围，和缩小待检测数的范围相同，如果2除i除不尽，那么2的倍数去除i也除不尽；同理3除不尽，3的倍数也除不尽，5除不尽，5的倍数也除不尽，最理想的方法就是用质数去除i，因此范围缩小到用小于根号i的质数去除i即可。因为和根号i比较可能并不精确，因此可以使prime[i]*prime[i]和i相比。prime[i]为最新检测出的质数。

程序如下：

#include <stdio.h>#define MAXSIZE  100#define YES      1#define NO       0int main(int argc,char *argv[]){int prime[MAXSIZE];int gap =2;int count =3;int may_be_prime = 5;int i,is_prime;prime[0] = 2;prime[1] = 3;prime[2] = 5;while(count <MAXSIZE){    may_be_prime += gap;    gap = 6-gap;    is_prime = YES;    for(i=2;prime[i]*prime[i]<=may_be_prime&&is_prime;i++)    if(may_be_prime%prime[i] == 0)        is_prime = NO;    if(is_prime)        prime[count++] = may_be_prime;            }printf("\nPrime Number Generation Program");printf("n================================\n");printf("\nFirst %d Prime Numbers are:\n",count);for(i=0;i<count;i++){    if(i%10 ==0)     printf("\n");    printf("%5d ",prime[i]);}getchar();return 0;}

运算结果