组合数C(n,m)的求法总结，卢卡斯定理

组合数C(n,k)的求法总结

与组合数有关的两个最重要内容是杨辉三角和二项式定理。

杨辉三角前10行如下所示：

另一方面，将(a+b)^n展开，系数正好和杨辉三角一致。

一般有(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n)b^n。

给定n，如何求出(a+b)^n所有项的系数呢？

方法一，递推，利用杨辉三角的性质，当前数等于上方两个数的和，表现在组合数上就是C(n,m)=C(n,m-1)+C(n-1,m-1)。

代码如下：

memset(C,0,sizeof(C));for (int i = 0; i <= n; ++i) {        C[i][0] = 1;        for (int j = 1; j <= i; ++j) {                C[i][j] = C[i][j - 1] + C[i - 1][j - 1];        }}

但是复杂度是n^2。

方法二，利用等式C(n,k)=(n-k+1)/k*C(n,k-1)。从C(n,0)=1开始递推。

代码：

C[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; ++i) {        C[i] = (n-i+1)*C[i-1]/i;}

注意应该先除后乘，因为C[i-1]/i可能不是整数。但可能溢出。

上边等式的意义不是很明显，但很容易用组合数公式C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)证明。

方法三，卢卡斯定理

待写

参考：http://baike.baidu.com/view/7804.htm