B tree

   

1. B树的定义:
   1970年，R.Bayer和E.mccreight提出了一种适用于外查找的树，它是一种平衡的多叉树，称为B树，其定义如下：
   一棵m阶的B树满足下列条件：
   ⑴ 树中每个结点至多有m个孩子；
   ⑵ 除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有m/2个孩子；
   ⑶ 若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子；
   ⑷ 所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息；
   ⑸ 有k个孩子的非终端结点恰好包含有k-1个关键字。
   在B树中，每个结点中关键字从小到大排列，并且当该结点的孩子是非叶子结点时，该k-1个关键字正好是k个孩子包含的关键字的值域的分划。
   因为叶子结点不包含关键字，所以可以把叶子结点看成在树里实际上并不存在外部结点，指向这些外部结点的指针为空，叶子结点的数目正好等于树中所包含的关键字总个数加1。
   B树中的一个包含n个关键字，n+1个指针的结点的一般形式为： （n,P0,K1,P1,K2,P2,…,Kn,Pn）
   其中，Ki为关键字，K1<K2<…<Kn, Pi 是指向包括Ki到Ki+1之间的关键字的子树的指针。

2. B树的查找:
   在B树中查找给定关键字的方法是，首先把根结点取来，在根结点所包含的关键字K1,…,kj查找给定的关键字（可用顺序查找或二分查找法），若找到等于给定值的关键字，则查找成功；否则，一定可以确定要查的关键字在某个Ki或Ki+1之间，于是取Pi所指的结点继续查找，直到找到，或指针Pi为空时查找失败。

   查找算法演示
   性能分析：

  设B树包含N个关键字，因此有N+1个叶子结点，叶子都在第I层。因为根至少有两个孩子，因此第二层至少有两个结点。除根和叶子外，其它结点至少有┌m/2┐个孩子，因此在第三层至少有2*┌m/2┐个结点，在第四层至少有2*┌m/2┐2个结点，．．．，在第I层至少有2*┌m/2┐I-1 个结点，于是有：
   N+1 ≥ 2*┌m/2┐I-1
   即： I ≥ log┌m/2┐( )
   这个公式保证了B树的查找效率是相当高的。