RSA加密算法加密与解密过程解析

原文  http://blog.csdn.net/firechungelaile/article/details/39974379

1.加密算法概述

加密算法根据内容是否可以还原分为 可逆加密和非可逆加密 。

可逆加密根据其加密解密是否使用的同一个密钥而可以分为 对称加密和非对称加密。

所谓对称加密即是指在加密和解密时使用的是同一个密钥：举个简单的例子，对一个字符串C做简单的加密处理，对于每个字符都和A做异或，形成密文S。解密的时候再用密文S和密钥A做异或，还原为原来的字符串C。这种加密方式有一个很大的缺点就是不安全，因为一旦加密用的密钥泄露了之后，就可以用这个密钥破解其他所有的密文。

非对称加密在加密和解密过程中使用不同的密钥，即公钥和私钥。公钥用于加密，所有人都可见，私钥用于解密，只有解密者持有。就算在一次加密过程中原文和密文发生泄漏，破解者在知道原文、密文和公钥的情况下无法推理出私钥，很大程度上保证了数据的安全性。

此处，我们介绍一种非常具有代表性的非对称加密算法，RSA加密算法。RSA算法是1977年发明的，全称是RSA Public Key System，这个Public Key就是指的公共密钥。

2.密钥的计算获取过程 

密钥的计算过程为：首先选择两个质数p和q，令n=p*q。

令k=ϕ(n)=(p−1)(q−1),原理见4的分析

选择任意整数d，保证其与k互质

取整数e，使得[de]k=[1]k。也就是说de=kt+1，t为某一整数。

3.RSA加密算法的使用过程

同样以一个字符串来进行举例，例如要对字符串the art of programming进行加密，RSA算法会提供两个公钥e和n，其值为两个正整数，解密方持有一个私钥d，然后开始加密解密过程过程。

1.      首先根据一定的规整将字符串转换为正整数z，例如对应为0到36，转化后形成了一个整数序列。

2.      对于每个字符对应的正整数映射值z，计算其加密值M=(N^e)%n. 其中N^e表示N的e次方。

3.      解密方收到密文后开始解密，计算解密后的值为(M^d)%n，可在此得到正整数z。

4.      根据开始设定的公共转化规则，即可将z转化为对应的字符，获得明文。

4.RSA加密算法原理解析

下面分析其内在的数学原理，说到RSA加密算法就不得不说到欧拉定理。

欧拉定理(Euler’s theorem)是欧拉在证明费马小定理的过程中，发现的一个适用性更广的定理。

首先定义一个函数，叫做欧拉Phi函数，即ϕ(n)，其中，n是一个正整数。

ϕ(n)=总数(从1到n−1，与n互质整数)

比如5，那么1，2，3，4，都与5互质。与5互质的数有4个。ϕ(5)=4

再比如6，与1，5互质，与2，3，4并不互质。因此，ϕ(6)=2

对于一个质数p来说，它和1, 2, 3, …, p – 1都互质，所以ϕ(p)=p−1。比如ϕ(7)=6,ϕ(11)=10

欧拉定理叙述如下：

欧拉定理：如果n是一个正整数，a是任意一个非0整数，且n和a互质。那么，a^ϕ(n)−1可以被n整除。

推论1：如果m和n是互质的正整数。那么，ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)

推论2：[ab]n=[[a]n[b]n]n

证明：假设a和b除以n的余数为c1,c2。a和b可以写成a=nt1+c1,b=nt2+c2。那么，ab=n2t1t2+nt1c2+nt2c1+c1c2。因此ab除以n的余数为c1c2。即[ab]n=[a]n[b]n。

有以上定理后，由此可以推导出RSA算法的内在原理 。

根据欧拉定理，对于任意z，如果z与n互质，那么：

[z^ϕ(n)]n=[z^k]n=[1]n

因此，

[z^(de)]n=[z^(kt+1)]n=[z^(kt)*z]n=[z^kt]n*[z]n= [z]n   因为[z^k]n = [1]n

上面主要使用了de=kt+1以及推论2。也就是说：

[z^(de)]n=[z]n

根据2的推论，有

([z^e]n)^d=[z]n

即d个余数相乘，因为其乘积可能大于n，所以由[ab]n=[[a]n[b]n]n，例如令a和b都为5，n为3，可知该结论

故上式可描述为[([z^e]n)^d]n=[z]n=z，就是原数字乘方求余数，然后再乘方求余数后得到原来数字的过程，得证。

公开的加密方式，私有的解密方式。RSA安全的关键在于很难对一个大的整数进行因子分解。

5.RSA加密的缺点

1）产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。 2）安全性，RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价，而且密码学界多数人士倾向于因子分解不是NP问题。

3）速度太慢，由于RSA 的分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bitx以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。