筛法思想--七夕节

Description

七夕节那天,月老来到数字王国,他在城门上贴了一张告示,并且和数字王国的人们说:"你们想知道你们的另一半是谁吗?那就按照告示上的方法去找吧!"
人们纷纷来到告示前,都想知道谁才是自己的另一半.告示如下：

数字N的因子就是所有比N小又能被N整除的所有正整数,如12的因子有1,2,3,4,6.

你想知道你的另一半吗?

Input
输入数据的第一行是一个数字T(1<=T<=500000),它表明测试数据的组数.然后是T组测试数据,每组测试数据只有一个数字N(1<=N<=500000).


Output
对于每组测试数据,请输出一个代表输入数据N的另一半的编号.


Sample Input
3 2 10 20


Sample Output
1 8 22

乍一看这题比较简单，我就想可能会出现超时问题，于是在控制数字范围时用的是n/2，但结果依然是超时。然后我了解到了一种新的方法---筛法。这个方法对于缩短时间十分有效。

解法一：

   类似于筛素数，开一个大数组，数组存储的就是这个数所有因子相加的和，到时候直接查找数组即可。那如何构建这个数组呢？对于数组中的每一个数，它都是除自己之外的它的倍数的因子。而1是所有数的因子。首先把数组所有数置1，2是4、6……的因子，把数组中相应序号的数加2；以此类推，把3的倍数加3，4的倍数加4……代码如下：

#include<iostream>int a[500001];using namespace std;int main(){int T,N;for(int i=0;i<=500000;i++)a[i]=1;            //把所有数组中数置一for(int i=2;i<=250000;i++) //250000之后的数的倍数不在这500000个数中for(int j=i+i;j<=500000;j+=i) //注意这里是“j+=1”不是“j+i”{a[j]+=i;}cin>>T;while(T--){                cin>>N;cout<<a[N]<<endl;}return 0;}

解法二：

  找n的因子要在【1，n）中找，但这样会超时。如果把范围缩减到【1，n/2）还是超时。我们就想，如果范围是【1，sqrt（n）），就不会超时了。但是如果这样，比sqrt（n）大的因子就会漏掉。怎么办呢？我们注意到比sqrt（n）大的因子可以通过n/sqrt（n）求得。在求和时，令sum=sum+i+n/i（i<sqrt(n)）,一次就可以加两个因子，但是如果i恰巧是n的平方根时，i=n/i，就会多加一次，因此需要减去多加的。代码如下：

#include<iostream>using namespace std;int main(){int T,N;cin>>T;while(T--){cin>>N;int sum=1;for(int i=2;i*i<=N;i++){if(N%i==0)sum+=(i+N/i);if(N==i*i)sum-=i;}cout<<sum<<endl;}return 0;}