最长公共子序列（LCS）问题

一、什么是最长公共子序列

   

   什么是最长公共子序列呢？举个简单的例子吧，一个数列S，若分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合条件序列中最长的，则S称为已知序列的最长公共子序列。

  举例如下，如：有两个随机数列，1 2 3 4 5 6 和 3 4 5 8 9，则它们的最长公共子序列便是：3 4 5。

  一直不明白：最长公共子串和最长公共子序列的区别。

  

   上网查了下，最长公共子串（Longest Common Substirng）和最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）的区别为：子串是串的一个连续的部分，子序列则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列；也就是说，子串中字符的位置必须是连续的，子序列则可以不必连续。

二、蛮力法

   蛮力法是解决最长公共子序列问题最容易想到的方法，即对S的每一个子序列，检查是否为T的子序列，从而确定它是否为S和T的公共子序列，并且选出最长的公共子序列。

 

   S和T的所有子序列都检查过后即可求出S和T的最长公共子序列。S的一个子序列相应于下标序列1,2，...，n的一个子序列。因此，S共有2^n个子序列。当然，T也有2^m个子序列。

   因此，蛮力法的时间复杂度为O(2^n * 2^m)，这可是指数级别的啊。

三、动态规划方法

   1、序列str1和序列str2

 

  ·长度分别为m和n；

  ·创建1个二维数组L[m.n]；

    ·初始化L数组内容为0

    ·m和n分别从0开始，m++，n++循环：

       - 如果str1[m] == str2[n]，则L[m,n] = L[m - 1, n -1] + 1；

       - 如果str1[m] != str2[n]，则L[m,n] = max{L[m,n - 1]，L[m - 1, n]}

    ·最后从L[m,n]中的数字一定是最大的，且这个数字就是最长公共子序列的长度

    ·从数组L中找出一个最长的公共子序列

   2、从数组L中查找一个最长的公共子序列

   i和j分别从m，n开始，递减循环直到i = 0，j = 0。其中，m和n分别为两个串的长度。

  ·如果str1[i] == str2[j]，则将str[i]字符插入到子序列内，i--，j--；

  ·如果str1[i] != str[j]，则比较L[i,j-1]与L[i-1,j]，L[i,j-1]大，则j--，否则i--；（如果相等，则任选一个）

图1 效果演示图

   

   根据上图，我们可以得到其中公共子串：B C B A 和 B D A B。

   总感觉，上面这个过程说的不是很清楚，但是不知道怎么才能更加清楚的表述？？纠结啊。

问题描述：

最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。

 

例如：X（A，B，C，B，D，A，B）

        Y(B，D，C，A，B，A)

 

那么最长公共子序列就是：B，C，B，A

算法设计：用动态规划方法解决

最长公共子序列的结构：

设X = { x1 , ... , xm },Y = { y1 , ... , yn }及它们的最长子序列Z = { z1 , ... , zk }则：

1、若 xm = yn ， 则 zk = xm = yn，且Z[k-1] 是 X[m-1] 和 Y[n-1] 的最长公共子序列

2、若 xm != yn ，且 zk != xm , 则 Z 是 X[m-1] 和 Y 的最长公共子序列

3、若 xm != yn , 且 zk != yn , 则 Z 是 Y[n-1] 和 X 的最长公共子序列

子问题的递归结构：

当 i = 0 , j = 0 时 , c[i][j] = 0

当 i , j > 0 ; xi = yi 时 , c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1

当 i , j > 0 ; xi != yi 时 , c[i][j] = max { c[i][j-1] , c[i-1][j] }

 

还是以：X（A，B，C，B，D，A，B）

          Y(B，D，C，A，B，A)  为例

#include <stdio.h>#include <string.h>#define MAX_LEN 1000char sz1[MAX_LEN];char sz2[MAX_LEN];int aMaxLen[MAX_LEN][MAX_LEN];void main(){while (scanf("%s%s",sz1+1,sz2+1)>0){int nLength1 = strlen(sz1 +1) ;int nLength2 = strlen(sz2 + 1) ;int nTmp ;int i,j;for (i=0;i<= nLength1;++i){aMaxLen[i][0] = 0;}for (j=0;j<=nLength2; ++j){aMaxLen[0][j] = 0;}for (i=1;i<=nLength1;++i){for (j=1;j<=nLength2;++j){if (sz1[i] == sz2[j]){aMaxLen[i][j] =aMaxLen[i-1][j-1] + 1 ;}else{int nLen1 = aMaxLen[i][j-1] ;int nLen2 = aMaxLen[i-1][j] ;if (nLen1 > nLen2){aMaxLen[i][j] = nLen1 ;}else{aMaxLen[i][j] = nLen2 ;}}}}/*for (i=0;i<=nLength1;++i){for (j=0;j<=nLength2;++j){printf("%d ",aMaxLen[i][j]);}printf("\n");}*/printf("%d\n",aMaxLen[nLength1][nLength2]);}}