五大常用算法之一:分治算法
来源:互联网 发布:韩日世界杯假球 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 05:51
一:基本概念
分治算法在计算机科学中是很重要的一种算法,字面意思就是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成若干个相同或相似的子问题,再把子问题分成多个更小的子问题,……直到最后的子问题可以直接求解,原问题的解就是最后子问题的解的合并。分治算法是很多高效算法的基础,例如:排序算法中的快速排序和归并排序。
二:基本思想及策略
分治法的设计思想是:将一个难以直接解决的大问题,分解成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。
分治策略是:对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易的解决(比如规模n较小),则直接解决,否则将其分解成为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题的形式相同,递归解决这些子问题,然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。
如果原问题可分割成k个子问题,1<k≤n,且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解,那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。
三:分治法的试用情况
(一)该问题缩小到一定规模就可以容易的解决;
(二)该问题可以分解成若干个规模较小的相同的问题,即该问题具有最优子结构性质;
(三)该问题子结构的解可以合并为该问题的解;
(四)该问题分解出的子问题是相互独立的,即子问题之间不包含子子问题。
四:分治法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤:
step1 分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题;
step2 解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题
step3 合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。
它的一般的算法设计模式如下:
Divide-and-Conquer(P)
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合并子问题
7. return(T)
其中|P|表示问题P的规模;n0为一阈值,表示当问题P的规模不超过n0时,问题已容易直接解出,不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法,用于直接解小规模的问题P。因此,当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法,用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。
五:分治法的复杂性分析一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。设分解阀值n0=1,且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间,则有:
T(n)= k T(n/m)+f(n)
通过迭代法求得方程的解:
递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值,但是如果认为T(n)足够平滑,那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的,从而当mi≤n<mi+1时,T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。
六:分治法的经典问题- 五大常用算法之一:分治算法
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