数据结构——二叉树

       二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”和“右子树”。二叉树在图论中是这样定义的：二叉树是一个连通的无环图，并且每一个顶点的度不大于3。有根二叉树还要满足根结点的度不大于2。有了根结点之后，每个顶点定义了唯一的父结点，和最多2个子结点。然而，没有足够的信息来区分左结点和右结点。如果不考虑连通性，允许图中有多个连通分量，这样的结构叫做森林。

      二叉树是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态：

(1)空二叉树

(2)只有一个根结点的二叉树

(3)只有左子树

(4)只有右子树

(5)完全二叉树

      完全二叉树和满二叉树区别

(1)完全二叉树——若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布，这就是完全二叉树

(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶子结点都处在最底层的二叉树。

     因为二叉树的特殊性，具有以下性质：

(1) 在非空二叉树中，第i层的结点总数不超过

, i>=1；

(2) 深度为h的二叉树最多有

个结点(h>=1)，最少有h个结点；

(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；

(4) 具有n个结点的完全二叉树树的深度为

(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：

若I为结点编号则 如果I>1，则其父结点的编号为I/2；

如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；

如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。

(6)给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树。

h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(2*n，n)/(n+1)。

(7)设有i个枝点，I为所有枝点的道路长度总和，J为叶的道路长度总和J=I+2i

    二叉树的存储结构

   

struct BiTree{    char value;    struct BiTree *left,*right;};

  二叉树的创建

void preordercreateBiTree(BiTree *&tree,string s){    if(s[i]=='#')    {        i++;        tree=NULL;    }    else    {        tree=new BiTree();        tree->value=s[i];        i++;        preordercreateBiTree(tree->left,s);        preordercreateBiTree(tree->right,s);    }}

字符串S表示二叉树的先序遍历的结果，根据先序遍历求得二叉树（“#”代表空）。

同理，也可以根据后序遍历的结果，建立二叉树。

因为单由中序遍历无法准确的确定左子树，右子树的多少，无法确定根节点，所以无法建立二叉树

二叉树的遍历

1、先序遍历

首先访问根，再先序遍历左子树，最后先序遍历右子树

void preorderTraverse(BiTree *tree){    if(tree==NULL)        return ;    else    {        cout<<tree->value<<endl;        preorderTraverse(tree->left);        preorderTraverse(tree->right);    }}

2、中序遍历

首先中序遍历左子树，再访问根，最后中序遍历右子树

void inorderTraverse(BiTree *tree){    if(tree==NULL)        return ;    else    {        inorderTraverse(tree->left);        cout<<tree->value<<endl;        inorderTraverse(tree->right);    }}

3、后序遍历

首先后序遍历左子树，再后序遍历右子树，最后访问根

void postorderTarverse(BiTree *tree){    if(tree==NULL)        return ;    else    {        postorderTarverse(tree->left);        postorderTarverse(tree->right);        cout<<tree->value<<endl;    }}

由前序遍历，中序遍历，后序遍历的特点可以得到

1、已知前序、中序遍历，求后序遍历

    由前序遍历的特点我们可以知道前序遍历的第一个字符就是根节点，然后根据中序遍历的字符串，找到根结点的位置得到左子树和右子树。然后再根据前序遍历得到左子树右子树的根节点，以此类推，便可以得到二叉树！

2、已知中序和后序遍历，求前序遍历  

    由后序遍历的特点我们可以知道前序遍历的最后一个字符就是根节点，然后根据中序遍历的字符串，找到根结点的位置得到左子树和右子树。然后再根据后序遍历得到左子树右子树的根节点，以此类推，便可以得到二叉树！