uva 10940 （约瑟夫环）

题意：

一堆牌按1到n的顺序从上到下放一堆，然后拿掉第一张，第二张放到最底下，依此类推，问最后剩下的牌是多少。

解析：

间隔为2的约瑟夫环问题，n为50000，用数学解法。

约瑟夫的数学解法 转自网络，第一次接触约瑟夫环的时候就是看了下面的：

约瑟夫环问题：

已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。

问题描述：

n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到m-1的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
                                                k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
　　并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：
　　k --> 0
　　k+1 --> 1
　　k+2 --> 2
　　...
　　...
　　k-3 --> n-3
　　k-2 --> n-2
　　序列1： 0, 1, 2, 3 … n-2, n-1
　　序列2： 0, 1, 2, 3 … k-1, k+1, …, n-2, n-1
　　序列3： k, k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, 1, 2, 3,…, k-2,
　　序列4：0, 1, 2, 3 …, 5, 6, 7, 8, …, n-3, n-2
　　

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解               吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：
　　∵ k=m%n;
　　∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n
　　∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n
　　得到 x‘=(x+m)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下           面写递推公式：
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].

递推公式:
　　f[1]=0;
　　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。我们输出f[n]由于是逐级递推，不需要保存每个，程序也是异常简单：(注意编号是0 -- n-1)

#include <stdio.h>int main(){　　int n, m, i, s=0;　　printf ("N M = ");　　scanf("%d%d", &n, &m);　　for (i=2; i<=n; i++)　　    s=(s+m)%i;　　printf ("The winner is %d\n", s);　　return 0;}

时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且           往往会成倍地提高算法执行效率。
　　参照上面提供的思路，我认为可以类似的得到一个更易于明白的方法，设有（1,2,3，……，k-1，k，k+1，……，n）n个数，当k出列时，那么有
　　k+1 -->1
　　k+2 -->2
　　...
　　...
　　n -->n-k
　　1 -->n-k+1
　　...
　　...
　　k-1 -->n-1
　　由上面一组式子可以推出，若知道新产生的n-1个数中某个数x，那么很显然可以推出x在原数列里的位置，即x‘=（x+k）%n,由此，我们可以得到一个递推公式
　　f[1]=1
　　f[n]=(f[n-1]+k)%n （n>1）
　　如果你认为上式可以推出约瑟夫环问题的解，很不幸，你错了，上面的递推公式中，在某种情况下，f[n-1]+k会整除n，如n=2，k=3，这时我们修要对上式进行修正，
　　f[n]=(f[n-1]+k)%n;if(f[n]==0)f[n]=n;
问题得解。 程序代码如下：

#include<stdio.h>　　int main(){　　int n,k,s=1;　　scanf("%d%d",&n,&k);　　for(int i=2;i<=n;i+=1)　　{　　    s=(s+k)%i;　　    if(s==0)s=i;　　}　　printf("ans=%d\n",s);　　return 0;}

递归解法：

　　#include<stdio.h> 　　int main(){　　int jos(int n,int k);　　int n,k,s;　　scanf("%d%d",&n,&k);　　s=jos(n,k);　　printf("ans=%d\n",s);　　return 0;}　　int jos(int n,int k){　　int x;　　if(n==1)x=1;　　else {x=(jos(n-1,k)+k)%n;if(x==0)x=n;}　　return x;}

这题因为n到达50000，直接套会TLE，所以打个表就ok了。

代码:

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cmath>#include <stack>#include <vector>#include <queue>#include <map>#define LL long longusing namespace std;const int maxn = 1e6;const int inf = 0x3f3f3f3f;const double eps = 1e-8;const double pi = 4 * atan(1.0);const double ee = exp(1.0);int f[500000 + 10];int table(int m){    f[1] = 1;    int s = 0;    for (int i = 2; i <= 500000; i++)    {        s = (s + m) % i;        f[i] = s;    }    return s;}int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt", "r", stdin);    #endif // LOCAL    table(2);    int n;    while (scanf("%d", &n) && n)    {        printf("%d\n", f[n]);    }    return 0;}