高等数学（总结7--解析向量空间）

1）向量相加（减）等于分量分别相加（减）；（交换律，结合律）
2）向量与数相乘等于分量与数分别相乘；（结合律，分配律）
3）向量分量坐标的方向符合右手系，向量积的定义与此密切相关；
4）模：a(a1,a2,..,a3) 的模|a|=(a1^2+a2^2...an^2)^(1/2);
5)方向角和方向余弦：这个公式很重要，后面很多定理的证明其实都是基于此；



很容易证明：
这个公式很容易推广到n维向量。
6）向量在轴上的投影：
（u为轴，比如x轴)

向量在轴上的投影是在轴线上的的投影，在三维空间中还有轴面投影；比如向量a在xy轴面上的投影，这是很多空间积分的理解基础；
7）数量积：

数量积可以看作是向量a在向量b上的投影；其中θ是a,b夹角:有交换律，数乘结合律，分配律。
注意：数量积是一个数，不是向量，这与向量积截然不同。

8）正交定理：向量A,B正交的充分必要条件是A•B=0.
9)数量积表达的是向量间的投影，因此可以很容易向n维空间推广；
10）向量积：A*B:|A*B|=|A|*|B|sinθ,(θ是A,B向量的夹角).方向垂直于A和B，并由右手系规则确定。
       向量积具有A*B=-B*A,A*A=0,分配率。A*B=0则A,B平行.
     
但这种记忆只能在三维向量，n>4无法用此类方式表达。

11）向量混合积:A*B•C

     混合积可以推广到n维，n-1个向量积和一个向量的点积。但任意的混合积定义不明确。我前面有博文专门讨论。另外n维的向量混合积，向量积计算在前面也有算法代码。
12）三维向量3个向量共面的充分必要条件是混合积等于0.注意混合积是数，不是向量。

13）点法式方程：

其中法向量=(A,B,C),平面上的点(X-x0,y-y0,z-z0)
14)平面方程

   （A,B,C)为法向量之一。k(A,B,C)为平面法向量一般表达式.
15）平面的截距式方程：

a,b,c为截距。
16) 空间直线的点线式方程：

 (x0,y0,z0)是线上一点,(m,n,p)为方向向量.
17）空间直线间的夹角

(m1,n1,p1),(m2,n2,p2)为两条直线的方向向量
18）直线平面夹角:

(A,B,C)为平面法向量，(m,n,p)为直线方向向量.

利用向量空间的坐标系，可以将现实世界在向量空间中形成一种映射（建模），从而可以将现实世界的研究对象抽象到向量空间中来，利用数学工具进行分析。因此向量空间中的很多数学规律，实际上都对应着现实世界的规律，比如后面要学到是引力场。数学是为了研究现实世界而产生的抽象化工具。