POJ 1195 树状数组详解

这题我主要提供树状数组的讲解。

如果想了解为何是lowbit的问题的话，直接从----A----以下开始看

首先还是老图……大家一定见过的……这个图来吓唬一下大家

当然这个图不好看那，我们换个图。

看！ 他们看起来就有表示的区间一样。  最低下的，显然是[1, 1]  [2,2]之类的区间

倒数第二层的区间，每个区间长度都是2， 倒数第三层长度都是4.  （像不像线段树？~~~）

如果这个数据结构，每个节点，都保存了他们的和。 比如[3,3]就是a[3]  [4,8]就是a[5]+a[6]+a[7]+a[8]

那么我要求sun(1..9)怎么办？  从图上看，就是[9,9] + [1,8]

要求sum(1..5)呢？ [5,5]+[1,4]

要求sum(1..11)呢？  [11,11] + [9,10] + [1,8]  

也就是说，我们要找到的全部都是从a[i]开始，把图上，i前面所有【最高的】节点的区间和加起来。   【结合上面的例子，要好好理解这句话…… 但是我表达有限了】

（如果不是最高的，是不是要多加好几次？）

现在问题来了，如何总是找i前面“最高的”节点区间呢？ 也就是说，我们怎么知道当i=11的时候，要找[11,11]  [9,10] [1,8]呢？

=============分割线============

这是一颗很好看的二叉树对不对？

每一个“公共父亲”，

都是每隔1个，出现一次第二层公共父亲   ( [1,1] [2,2]的公共父亲是[1,2] ) 第二层也就是[1,2] [3,4]这些。  也就是在2,4,6,8,10...2k的位置

每隔3个，出现一次第三层共用父亲[1,2] [3,4]的公共父亲是[1,4] 在第三层。  也就是在4,8,12...4k的位置

同理，每隔7个，出现一个第四层共用父亲。  也就是在8,16…… 8k的位置

【能明白我上面的意思了嘛……】

假如【不看图】， 我们考虑11的情况。

我们知道距离11附近有几个点，[1,8]的高度是4，[9,10]的高度是2， 但是！还有[5,8]的高度是3，[7,8]的高度是2。 在10号位置，我们找到最高的，也就是高度为2的[9,10]

在9号点，因为9号已经是[9,10]区间内了，跳过去不考虑。 然后考虑8号位置，8的位置有[1,8]的高度是4，所以选取[1,8]区间。   好了，结束了。 这些区间的并集正好是[1,11]。

但是上述的描述过程，并没有解释如何寻找8，并且又如何知道8的位置有[1,8]的问题……

好了，上面刚才提到，他们“公共父亲”的位置，是和2,4,8这些数字有密切关系……

任何一个数字，都可以是1,2,4,8，16之类的和相加而成。【证明略， 相信大家举例子大概就懂了。 】

……还是不要证明略了……考虑一个数字的二进制，既然都想学树状数组，对二进制数字一定不陌生吧

两个A之间的部分，对二进制大家都很了解了……不了解的再看一下……

----------------------------------------A--------------

       9876543210  （ 这一串数字没意义，就是为了和下面的二进制对齐）

二进制  1010010这些数字（这个数字我瞎打的）   他换算成十进制有什么办法呢？ 

2^6*1 + 2^5 * 0 + 2^4 + 1 + 2^3 *0 + 2^2 *1 + 2*0 * 0。  

理解不了？

110101 = 100000+10000+0000+100+00+1 写成这样的二进制形式，大家应该一下子懂了吧。

好了对于二进制化十进制的问题，已经解释了太多了……完全偏题了。

-----------------------A------------

好了，对于110101这个二进制数字， 他拆解成若干个二进制数字之和，就是100000（64）+10000（32）+0000+100（8）+00+1 。

【上面这行给出……其实没啥用，但是我感觉如果说了这句话，很多客官应该顿悟了lowbit的含义为啥是取最后一个1了。  至于想知道为何lowbit是k&-k,仔细想一下补码反码那一块的知识……   】

假如你初学，完全不知道上面在说什么……没关系，好戏才刚开始。

还是这张图拉， 但是每个数字的二进制位我已经标注好了。

从11开始， 我们考虑11的二进制是1011,说明他是1000(8)+000+10(2) + 1 组成

哎哟你看！我们是不是要找的是 [11,11]对应1     [9,10]对应2（区间长度2）  [1,8]区间长度8.

再举个例子1001(9)（你们举个例子推算一下，我就不想写了……）

那么至此，我们已经可以把一个数字，拆解成几个2的整数次幂（我讨厌说这种名词）相加的和。并且这些和从大到小排列的话，可以直接用于题目推算区间的问题。

以11为例，8+2+1。   为何8一定是最高位，如果8不是最高位，假如有2个8，说明有16. 所以8一定是最高位。那么8，一定是一个区间

同理，整个数字都是这样……

================我感觉我语言表达有限，而且我说不清楚了===希望客官已经看懂了，当然看不懂的地方可以提问，我解答的过程也许能把这篇文章写顺了======

好了下面就是所谓的lowbit为何是 k&-k的问题了。

对于8位的情况。 

12345678

00010100

这个数字，那么-00010100在计算机是如何表示的？

是最左边是改为1，（符号位） 右边取反， 0变1，1变0，然后+1 即为：

11101011 + 1 = 11101100

00010100

11101100    &运算:

--------------------

00000100 

00000100 就把原来数字最右边的1给取出来了~

这个运算过程不懂的，可以先百度百科搜索“补码”。

当然为何这样是对的，这样只是举例子而已……

因为对于一个数字，最右边一大堆数字一定是？？？？1000 （要最右边的1嘛！要不最后一位是1，要不就有若干个0）

？？？1000因为作为负数，取反后，肯定是？？？0111

如果再+1. 那么一定是？？？1000 （因为后面若干个都是连续的0，取反+1，一定会进位到0的位置上去）。 同时因为一定会进位到0上，所以不会再往前进位，1前面的依然是问号。 【一个数字&这个数字取反，一定是0】  所以？？？ & （取反后的）？？？，一定全是0.  【 任何数字&0，也一定是0】，所以最后一位1后面的若干个0，&运算后依然是0.  所以 k&-k，可以实现取最后一位。

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二维树状数组

一维的情况已经说完了，下面说说树状数组如何推广到二维。

因为习惯问题，我习惯这样设置X,Y坐标……  因为for循环的问题嘛，所以养成这个习惯了。

假设c1[]就是这个第一横排， c1数组是一个已经建立好的一维树状数组。

看这个图……（我x,y换成i,j了~  对于喜欢for (i...) for(j..)的人更习惯一点）

对于横行，6依然和一维的情况一样，表示的是[5,6]区间, 4也依然表示[1,4]区间。  (只列出了4和6的情况，其他情况我偷懒没画)

核心大图来了！

这个图说明了i的意思！  i=8. j=4,就表示的是左边浅蓝色的整个区间和。 

i = 4,j =4,是红色的右斜线区间和。

i =4 j = 6 是右上角浅蓝色的区间和  

【这个地方要好好理解】

实际上，就是竖着也被建立了树状数组……

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#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>#include <cstdlib>using namespace std;#define lowbit(k) ((k)&(-k))int n;int a[1030][1030];void change(int x, int y, int num){for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))for (int j = y; j <= n; j += lowbit(j))a[i][j] += num;}int ask(int x, int y){int tot = 0;for (int i = x; i >= 1; i -= lowbit(i))for (int j = y; j >= 1; j -= lowbit(j))tot += a[i][j];return tot;}int main(){scanf("%d%d",&n, &n);n += 2;memset(a, 0, sizeof(a));int flag;int x1, y1, x2, y2, tmp;while (1){scanf("%d", &flag);if (flag == 1){scanf("%d%d%d", &x1, &y1, &tmp);x1 += 2, y1 += 2;change(x1, y1, tmp);continue;}if (flag == 2){scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);x1 += 2, y1+=2, x2+=2, y2+=2;int aa = ask(x2, y2);int b = ask(x1 - 1, y1 - 1);int c = ask(x1 - 1, y2);int d = ask(x2, y1 - 1);printf("%d\n", b + aa - c -d);continue;}break;}return 0;}