【数论】买不到的数目
来源:互联网 发布:easycap监控软件 编辑:程序博客网 时间:2024/04/28 08:49
小明开了一家糖果店。他别出心裁:把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。糖果不能拆包卖。
输入:
两个正整数,表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000)
要求输出:
一个正整数,表示最大不能买到的糖数
不需要考虑无解的情况
例如:
用户输入:
4 7
程序应该输出:
17
再例如:
用户输入:
3 5
程序应该输出:
2. 大于等于xy - x - y都能被表示为 ax+by的形式
小朋友来买糖的时候,他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的,比如要买 10 颗糖。
你可以用计算机测试一下,在这种包装情况下,最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。
本题的要求就是在已知两个包装的数量时,求最大不能组合出的数字。输入:
两个正整数,表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000)
要求输出:
一个正整数,表示最大不能买到的糖数
不需要考虑无解的情况
例如:
用户输入:
4 7
程序应该输出:
17
再例如:
用户输入:
3 5
程序应该输出:
7
设两包糖的个数分别是x,y
若x , y互质,则本题的结果是 xy - x - y
若不互质,则无解
证明下面两个命题:
1. xy - x - y 不能被表示为 ax+by的形式
2. 大于等于xy - x - y都能被表示为 ax+by的形式
(1)反证法:
设xy - x - y = ax+by(a >= 0,b >= 0)
=> (a+1)x + (b+1)y = xy
=> a+1整除y,设a+1 = cy(c > 0)
=> b+1整除x,设b+1 = dx(d > 0)
=> (c + d)xy = xy
=> c + d = 1,与题设矛盾,命题得证
(2)
证明ax + by = xy - x - y + c(c >= 1且为整数)
考虑 ax + by = c 这个式子,由于 x,y互质,由裴蜀定理得到该式必然有无穷多个整数解
取其中的一个解a0,b0
不妨设a0 * x - b0 * y = c(a0 >= 1,b0 >= 0),同时使b0 <= x - 1(由于b的所有解都是mod x同余的,所以一定有解在<= x - 1这个范围)
则 xy - x - y + c = xy - x - y + a0 * x - b0 * y = (a0 - 1) * x + (x - 1 - b0) * y(a0 - 1 >= 0,x - 1- b0 >= 0)
则命题得证
0 0
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