Compressive Sensing
来源:互联网 发布:淘宝盗图怎么电话投诉 编辑:程序博客网 时间:2024/04/28 01:30
“People Hearing Without Listening:”
An Introduction to Compressive Sampling
Emmanuel J. Cand`es and Michael B. Wakin
Applied and Computational Mathematics
California Institute of Technology,
I.Introduction
文章描述了乃奎斯特采样定理。
Compressive Sensing依赖于两个原则:稀疏性(sparsity)和不连贯性(incoherence),前者由信号本身决定,后者由感知系统决定。
Sparsity:表明连续时间信号的“information rate”(信息比率)远小于带宽,离散时间信号自由度远小于其有限的长度。CS揭示了很多自然信号是稀疏的或者是可压缩的,在合适的基-*下可以有简洁的表达式。
Incoherence:扩充了、延伸了时域与频域的二元性,表达了如下观点:在基
这些协议是非自适应的,仅仅要求将信号与少量的固定波形相关联,这些波形是与基Incoherence的,使得信号具有稀疏的表示。使用数值优化进行信号全长度重建。
本文的意图是概览CS理论的基础理论,产生于【1】【2】,表达理论的主要的数学观点,调查该领域的一些重要问题。
II.信号感知问题(The Sensing Problem)
信号
波形
尽管可以发展对于连续时间/空间信号的CS理论,我们将精力关注与离散信号
这些情形提出了重要的问题。对于
III. Incoherence and the sensing of sparse signals
A. Sparsity
很多自然信号在适合的基下展开时具有简洁的表达式。考虑一下,比如,图1及其小波变换。尽管原始图像几乎所有的像素值都不为零,小波系数提供了一个简洁的表示,大多数小波系数是小的,很少的大系数抓住了物体大多数的信息。
数学上讲,我们有矢量
其中
当信号具有稀疏表示的时候,我们可以抛弃小系数而不会带来可以感觉的损失。形式上考虑
我们称最多
B.Incoherence sampling
假设给定我们
定义3.1.感知系统
通俗的讲,一致性测度了
我们的第一个实例中,
我们的第二个例子为选择小波基为
最后,随机矩阵与任何固定基
C.Undersampling and spare signal recovery
理想的,我们想测量
其中
这就是说在所有
使用
我们的第一个结果断言当
定理1[10]:固定
对于正常量
我们作三个注释:(1)一致性的角色是完全显然的;一致性越小,需要的样本越小,因此我们的重点在前面部分的低一致性系统。(2)我们可以无损的利用任意
这个定理确实表明了一个具体的获取协议:在非一致域中非自适应的采样,在采样后调用线性规划。按照这样的协议将获取到具有压缩形式的信号。需要的是一个解码器去解压数据,这是1范数最小的角色。
事实上,这个非一致采样理论拓展了早期关于谱稀疏信号采样的结果[1],这触发了很多CS的发展者。假设我们采样超宽带信号但是谱稀疏形式
其中
现在是讨论以上内容中概率角色的时候了。要点是为了得到有用而且强大的结果,我们需要诉诸于概率因为我们不能希望所有大小为
有趣地,对于特定稀疏信号的研究表明我们至少需要
我们采用一个非一致性采样的例子总结这一部分,考虑图3所示的稀疏Comedian图像,压缩的百万像素图像如图1(右侧)。我们回想这个研究的物体是稀疏的因为它只有25000个非零小波系数。我们然后获取图像通过采取96000非一致测量(我们推荐读者到[10]中看细节)并且求解(5)。这个实例表明大约4倍于稀疏系数的采样。这就是事实上的4-1实际规则,对于精确恢复,我们至少需要大约4倍的非一致采样。
IV.Robust Compressive Sampling
我们已经展示我们可以利用少量的测量恢复稀疏信号,但是为了真正强大,CS需要处理近稀疏信号和具有噪声的信号。
1) 首先,感兴趣的一般物体都是近似稀疏而不是准确稀疏。这里的问题是能不能获得这些物体准确的重建利用高度未采样测量;
2) 其次,在任何实际应用中,测量数据将总是至少受到少量噪声的干扰因为感知设备不可能是无限精度的。因此CS需要对于这样的非理想情形具有Robust。总结为一点,数据中的小扰动应该引起重建中的小扰动。
这部分同时调查这两件事情。在我们开始之前,然而,考虑恢复信号的绝对问题
其中
A. 受限制的等距性
在这一部分,我们引入一个关键的表示,这个表示被证明是研究Compressive Sampling中一般鲁棒性的有效工具:所谓的RIP(受限制的等距特性)[15]。
定义4.1:对于每一个整数
对于所有的s稀疏向量
我们将宽松地说矩阵
为了看到RIP与CS之间的联系,设想我们想用矩阵
B. 从未压缩信号的一般恢复
如果满足RIP特性,那么通过求解下面的线性规划得到的重建是准确的。
定理2:([16]):假设
对于某个常数
另一项与之前结果不同的显著结果是它是确定性的;它不涉及概率。如果我们幸运的拥有一个满足定理假设条件的感知矩阵
在这一点上缺失的是S(可以有效恢复的分量数量)服从假设与观测数量
C. 从噪声数据中鲁棒的恢复信号
我们给定(7)中描述的噪声数据,使用具有松弛约束的
其中
定理3([16]):假设
对于某个常量
这很难再简化。重建误差受到两项和的限制。第一项是没有噪声时发生的误差,第二项与噪声水平成正比。进一步,常数
这个最后的结果建立CS为实用而且有效的感知机制。它是鲁棒的因为它不仅可以处理不一定稀疏的信号而且能够处理噪声信号。尚待完善的是设计有效的感知矩阵满足RIP。这是下一部分讨论的内容。
V.随机感知
回到RIP的定义,我们想寻找具有任选列向量子集近似正交的感知矩阵。这些子集越大越好。这里随机性再次进入画面。
考虑一下感知矩阵
1) 通过在
2) 通过采样具有零均值,方差为
3) 通过采样III-B部分的随机投影
4) 通过采样独立同分布向从对称贝努力分布
然后以压倒性优势的概率(overwhelming probability),所有这些矩阵服从受限制的等距特性(restricted isometry property)(例如我们定理的条件)当满足下式时
其中
我们可以采用第三部分中的正交基对建立RIP。对于
使得RIP很大概率上保证,见[25][2]。如果要求失败的概率不大于
最后,RIP对于感知矩阵
其中
VI.什么是压缩感知?
典型的数据获取过程如下:搜集到大量的数据,在压缩阶段大部分数据被丢弃,这对于存储和传输目的是必须的。用本文的语言讲,我们获得一个高分辨率像素阵列
CS操作则不同了,完成“如果能够直接获取感兴趣物体的重要信息”。通过采取
CS与编码理论中的观点有一些表面上的相似性,正似Reed-Solomon理论与实践[26]。在Nutshell和本文内容中,我们可以将编码理论中的观点改写过来:我们可以采用其前
或者利用任意2S个连续频率(恢复问题的计算成本为求解一个
VII.应用
可压缩信号可以通过与其信息级
l 数据压缩。在某些情形下,稀疏基
l 信道编码。正如[15]钟讨论的,CS原理(稀疏,随机,Convex最优化)可以转向并且应用于设计快速纠错码以防止传输过程中出现的错误。
l 逆问题。在其他条件下,获取
l 数据获取。最后,在某些重要条件下对于模拟信号完全采集
最后这些子弹表明数学和计算方法可以在常规的硬件设计具有显著限制的领域发挥重要的作用。例如,使用CCD或者CMOS的常规的成像设备限制在感知可见光光谱。然而,一个CS相机[29]使用数字微镜阵列采集非一致测量(只需要一个感光元器件而不是百万个)可以显著的拓展这些特性。在别处,Baraniuk更加深刻的介绍了这个相机。
沿着同样的线,我们的部分研究注重在于对于宽带信号进行“模拟---信息”转换得设备(见Healy的文章。),我们的目标是减轻对于常规模拟-数字转换技术的压力,现在受限制到采样率为GHZ。作为一个选项,我们提出了两种用于A/I的特定结构,在其中离散、低码率非一致测量序列从宽带模拟信号采集而来。在很大程度上近似,每一个测量值
我们的两个结构如下:
1)非均匀采样器(NUS):我们的第一个结构简单的在随机时间点上对信号进行数字化。就是说,
2)随机预综合(RPI)。我们的第二种结构适用于更为广泛的稀疏域,最值得注意的是,那些在时间-频率平面具有稀疏特性的信号。尽管不大可能用很高的率数字化模拟信号,非常有可能在高的码率改变其极性。RPI结构的想法(见图5)然后是将信号与正1和负1的伪随机序列相乘,在时间窗上对积进行积分,数字化每一个时间段内的积分。这是一个并行结构,我们可以并行运行多个乘法器-积分器对采用独特的或者几乎独立的伪随机信号序列。事实上,RPI结构将信号与
对于以上任何一种结构,我们已经在数字上(某些情况下物理上)确信这样的系统对于受到热噪声,时钟误差,干涉和放大器非线性影响的非理想电路是具有鲁棒性的。
A/I结构在实际获取场景中的应用将要求CS算法和理论的继续发展,包括模信号的合适的稀疏表示集合。我们用一个离散实例进行总结强调一些最近的有前景的方向。对于这个实例,我们选择
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