[BZOJ 2727][HNOI 2012]双十字(树状数组+计数问题)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2727

思路

这个题好难啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊，花了我半天的时间去研究vfk和ydc的题解才算大概搞懂
因为题目描述非常坑爹，竟然没有说R、C各自的范围，只是说了R∗C的大小，因此我们只能开个1e6的一维数组，把二维的东西都压到一维里，这个比较好实现(以下用array[i,j]来表示二维数组array[i][j]在一维数组array[x]里)。
首先预处理出L[i,j]、R[i,j]、down[i,j]，它们分别表示(i,j)格子向左方向延伸、向右方向延伸、向下方向延伸的连续的’1’格子的最大长度。
然后求出C[i,j]=min{L[i,j],R[i,j]}，表示以(i,j)为中心(横线与竖线的交点)向左右延伸的最大值(的一半)。
接着我们遍历棋盘中的每个格子(i,j)(先遍历列j，再遍历行i)，并时刻维护一个值top，表示当前连续的’1’的顶端的行标，并维护一个像栈一样的神奇数据结构q[]以及它的栈顶指针tail，保存的是当前的竖线的点。
以上各种乱七八糟的东西如下图所示：

考虑假设我们已知点i,j在同一列，且j在i上面，并且已知C[i]、C[j]，能构成多少个不同的双十字。
下面是上面的那个01矩阵中的几个不同的合法的双十字

那么我们看怎么来求这个方案数。。。

假设我们已经知道了下面的横线长度leni，然后再求方案数，这个比较显然是方案数delta=leni∗min{leni−1,C[j]}∗(top−j)∗down[i]
然后下面的横线长度实际上不是固定的，那么我们需要枚举它，最终的方案数delta=∑C[i]len=1len∗min{len−1,C[j]}∗(top−j)∗down[i]
恩，这时候我们离成功已经非常接近了。。。

看到那个min确实非常恶心，我们可以通过分类讨论把min拆掉
把上面的式子改一改：
1. C[i]<=C[j],delta=∑C[i]len=1len∗(len−1)∗(top−j)∗down[i]
2. C[i]>C[j],delta=∑C[i]len=1len∗C[j]∗(top−j)∗down[i]

就是个数列求和嘛，(2)是有求和公式的：
2. C[i]>C[j],delta=∑C[i]len=1len∗(len−1)∗(top−j)∗down[i]
delta=∑C[i]len=1(len2−len)∗(top−j)∗down[i]
delta=(∑C[i]len=1len2−∑C[i]len=1len)(top−j)down[i]

代码

代码是扒的ydc的，因为开了内联，所以跑起来比ydc的标程快几百ms

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <algorithm>#define MAXN 2000100#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))#define MOD 1000000009using namespace std;typedef long long int LL;int n,m,tot; //tot=0的总数LL bit1[MAXN],bit2[MAXN],bit3[MAXN];LL ans;bool map[MAXN];int L[MAXN],R[MAXN],C[MAXN]; //L[i,j]=(i,j)的左边有多少个连续的1，R[i,j]=(i,j)的右边有多少个连续的1,(i,j)是0的话，L[i,j]=R[i,j]=-1,C[i,j]=min{L[i,j],R[i,j]}int down[MAXN]; //down[i,j]=(i,j)下面有多少个连续的1，(i,j)为0时down[i,j]=-1;int q[MAXN]; //类似于栈的神奇的东西。。。void add(LL sum[],int pos,LL val) //在树状数组sum[]的pos位置加上值val{    while(pos<=m)    {        sum[pos]=(sum[pos]+val)%MOD;        pos+=lowbit(pos);    }}LL query(LL sum[],int pos) //查询树状数组sum[]的前pos位置和{    LL ans=0;    while(pos>0)    {        ans=(ans+sum[pos])%MOD;        pos-=lowbit(pos);    }    return ans;}inline int calc(int x,int y) //二维下标(x,y)对应的一位下标{    return (x-1)*m+y;}void prework(){    //预处理L、R、C数组    for(int i=1;i<=n;i++) //枚举第i行    {        if(map[calc(i,1)]) L[calc(i,1)]=-1; else L[calc(i,1)]=0; //预处理L[i,1]        if(map[calc(i,m)]) R[calc(i,m)]=-1; else R[calc(i,m)]=0; //预处理R[i,m]        for(int j=2;j<=m;j++)        {            if(map[calc(i,j)]) L[calc(i,j)]=-1;            else L[calc(i,j)]=L[calc(i,j-1)]+1;        }        for(int j=m-1;j>=1;j--)        {            if(map[calc(i,j)]) R[calc(i,j)]=-1;            else R[calc(i,j)]=R[calc(i,j+1)]+1;        }        for(int j=m;j>=1;j--) //?????            C[calc(i,j)]=min(L[calc(i,j)],R[calc(i,j)]);    }    //预处理down数组    for(int j=1;j<=m;j++) //枚举列j    {        if(map[calc(n,j)]) down[calc(n,j)]=-1; else down[calc(n,j)]=0; //初始化第j列最下面一行(第n行)的值        for(int i=n-1;i>=1;i--)        {            if(map[calc(i,j)]) down[calc(i,j)]=-1;            else down[calc(i,j)]=down[calc(i+1,j)]+1;        }    }}void clear(int &top,int &tail) //暴力清零{    top=-1;    tail=0;    for(int i=1;i<=m;i++)        bit1[i]=bit2[i]=bit3[i]=0;}void solve() //计数求出答案{    int top=-1,tail=0; //top是从当前格子开始向上延伸的最高点行标,tail是数组q的栈顶指针    for(int j=1;j<=m;j++) //枚举列j    {        clear(top,tail);        for(int i=1;i<=n;i++) //枚举行i        {            int now=calc(i,j); //now=当前的点在一维数组中的下标            if(map[now]) clear(top,tail); //now是个0，那么和上面1~i-1行的图形连不起来,将top置为-1,tail和数组q置为0            else if(top==-1) top=i; //top为-1，而当前格子为'1'，那么top=当前格子高度            else if(C[now]!=0) //now可以构成一条横线，而且它上面有格子当竖线            {                LL sum1=query(bit1,C[now])*C[now]%MOD;                LL sum2=query(bit2,C[now]);                LL sum3=C[now]*(C[now]-1)/2%MOD*(query(bit3,m)-query(bit3,C[now]))%MOD; //sum3是利用了补集转化的思想                LL t=(sum1-sum2+sum3+MOD)%MOD;                ans=(ans+t*down[now])%MOD;                if(q[tail]==calc(i-1,j))                {                    int tmp=q[tail],h=(tmp-1)/m+1; //h是now的行标                    add(bit1,C[tmp],C[tmp]*(h-top)%MOD);                    add(bit2,C[tmp],C[tmp]*(C[tmp]+1)/2%MOD*(h-top)%MOD);                    add(bit3,C[tmp],h-top);                }                q[++tail]=now; //将点now入队                continue;            }            if(tail&&q[tail]==calc(i-1,j))            {                int tmp=q[tail],h=(tmp-1)/m+1; //h是now的行标                add(bit1,C[tmp],C[tmp]*(h-top)%MOD);                add(bit2,C[tmp],C[tmp]*(C[tmp]+1)/2%MOD*(h-top)%MOD);                add(bit3,C[tmp],h-top);            }        }    }}int main(){    scanf("%d%d%d",&n,&m,&tot);    for(int i=1;i<=tot;i++)    {        int x,y;        scanf("%d%d",&x,&y);        map[calc(x,y)]=true;    }    prework();    solve();    printf("%lld\n",ans);    return 0;}