二叉查找树

二叉树是一种很好的存储结构，通过二叉树衍生的更高级的如红黑树，AVL，SBT等在各个领域程序，算法中都常会见到它的身影。

二叉查找树是具有以下性质的二叉树：

1、若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

2、若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

3、它的左、右子树也分别为二叉查找树；

4、没有键值相等的节点。

二叉查找树的优势在于它的时间复杂度较低，为O(log n)。

它的搜索，插入，删除的复杂度等于树高，期望O（log n），最坏O（n）(数列有序，树退化成线性表)。

二叉查找树的查找算法 树b中查找x的过程（伪代码）：

if (b是空树) 搜索失败else {if (x == b的根结点数据域值)查找成功else if (x < b的根结点数据域值)搜索左子树，重新上面搜索方法(递归)else搜索右子树，重新上面搜索方法(递归)}

二叉查找树的插入算法 向b中插入节点x的过程（伪代码）：

if (b是空树)s节点作为根节点插入else {if (s节点域值 == b根节点域值)return//已经有这个节点域值了 else if (s节点域值 < b根节点域值)s节点插入左子树中(递归)elses节点插入右子树中(递归)}

二叉查找树的删除算法 删除节点p，删除分为三种情况：

1、若节点p为叶子节点（PL左子树和PR右子树均为空树），则直接修改双亲节点的指针。

2、若节点p只有左子树PL或右子树PR，只要让PL或PR成为其双亲节点的PL或PR（原p节点所在的子树位置）

3、若节点p的左右子树均不为空，需要调整，有两种做法：一、让节点p的左子树作为双亲节点f的左/右子树（根据节点p为双亲节点f的左子树还是右子树而定），节点p的右子树作为p左子树的最右下节点s的右子树；二、让节点p的直接前驱（或直接后继）（即左子树最右或右子树最左节点）替代节点p，然后在从二叉树中删除它的直接前驱（或直接后继） 实现过程：

if (右子树为空) {节点p = 节点p的左子树} else if (左子树为空) {节点p = 节点p的右子树} else {//左右子树均不为空 获取左子树最右节点s节点p->data = 节点s ->data     删除直接前驱s（删除方法同理，可用递归）}

通过上面我们可以知道二叉查找树的查询复杂度更树的深度有关，深度越大，查询的复杂度也越大。为了提高查询效率，对二叉查找树进行了优化，产生了平衡二叉树，所有叶子的深度趋于平衡。

常见的平衡树有：AVL树、红黑树、Treap树等。这些树的高度为O(log n)。