线性规划的K-T条件

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相关概念

数学规划——无约束非线性规划/约束非线性规划；
下降方向、可行方向、下降可行方向；
可行解、可行域边界、有效约束、无效约束；

局部极小值的性质：
若ｘ*是极小值点，则不存在向量D，使得：
Δf(X∗)TD<0
−Δgj(X∗)TD<0
同时成立。

K-T条件

X*是非线性规划 {minf(X),hi(X)=0,i=1,2,...,m,gj(X)≥0,j=1,2,...,n} 的极小值点,且X*点各有效约束的梯度线性独立。则存在向量 λ∗=(λ∗1,λ∗2,...,λ∗m) 和 Γ∗=(γ∗1,γ∗2,...,γ∗n) ，使得：

Δf(X∗)−Σmi=1λ∗iΔhi(X∗)−Σnj=1γ∗jΔgj(X∗)=0

γ∗jgj(X∗)=0,j=1,2,...,n

γ∗j≥0,j=1,2,...,n

同时成立。

λ∗i和γ∗j称为广义拉格朗日乘子。

K-T条件是确定某点为极值点的必要条件，但不是充分条件，因此满足这个条件的点不一定是极值点。

对于凸规划，K-T条件是极值点存在的充分必要条件。