算数基本定理

算数基本定理

 

符号：

a|b  a整除b

(a,b)  a,b最大公约数

[a,b]  a,b最小公倍数

定理1：

设p是素数， p|a1a2，那么p|a1或p|a2至少有一个成立。一般的，若p|a1…ak， 则p|a1，…，p|ak至少有一个成立。

 

定理2：

设a>1, 那么必有a=p1p2…ps;其中pj(1<=j<=s)是素数，且在不计次序的意义下，表达式是唯一的。

将相同的素数合并，即得a=(p1^a1)***(ps^as)(p1<p2<…<ps)(标准素因数分解式)（与上面的素数不一样）

推论1

d是a的正除数的充分必要条件是：d=(p1^e1)***(pt^es)(0<=ej<=aj)（1<=j<=t）

推论2:

设b=（p1^β1）***（ps^βs）

这里允许某个aj或者βi为0；

(a,b)=(p1^δ1)***(ps^δs) δj=min( aj , βj )   (1<=j<=s)

[a,b]=（p1^γ1）***(ps^γs)  γj=max( aj , βj )    (1<=j<=s)

推论3 

若(a,b)=1，ab=c^k,则a=u^k,b=v^k;

推论4  （除数函数）

       设a是正整数，τ(a)表示a所有正除数的个数，若a有标准素因数分解式，

则τ（a）=(α1+1)***（αs+1）=τ（p1^α1）***τ（ps^αs）;

(αi可以为0)

推论5 （除数和函数）

设a是正整数，σ(a)表示a的所有正除数之和，那么σ(1)=1,当a有标准素因数分解式时，

σ（a）=∏（（pj^αj+1）-1/（pj – 1））（1<=j<=s）

引理：

f（n）是定义在全体正整数集合上的复值函数，a是a给定的正整数。

Σf(d) （d|a） =函数f在a的所有不同正除数上的值之和。

∏f(d)  (d|a )         =函数f在a上所有不同正除数上的值之积。

 

Σf(d) （d|a）=Σ（0<=e1<=a1）………Σ（0<=es<=as）f(p1^e1***ps^es);

∏f(d) （d|a）=∏（0<=e1<=a1）………∏（0<=es<=as）f(p1^e1***ps^es);