[COGS371]亲和数解题报告

这道题感觉还是挺好的。这个题吧，有两种解法。第一种吧比较暴力算是卡过的，第二种常数很小，要比第一种好很多也高端很多啦。但是由于我对于第二种解法涉及的一些知识不是很熟悉，导致我还是放弃了它，选择了更熟悉的第一种；后来看了别人的代码才开始重新想第二种。

解法一：
暴力枚举[A,B]所有元素，暴力算出其中每个的因数和；如果其因数和大于本身，就再算一下那个数的因数和判断一下即可。
一个因数个数是期望O(log2n)的，由于是连续的一段，使得这个期望变得比较靠谱。
期望时间复杂度O((B−A)(N12lnN12+lnN))
解法二：
积性易知，我起初想的是用线筛递推，发现卡T了（积性函数只学过线筛递推）。。但是实际上求积性函数只需要花费分解质因数的时间代价即可。
所以得到了最坏时间复杂度O((B−A)(N12lnN12+log2N))的算法。
代码（解法一）：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;#define MAXN 10000int prime[10000000];#include<bitset>#include<iostream>bitset<MAXN> p;int pri[30],sum[30],tot,T;typedef long long LL;void dfs(int x,int now){    if(x==tot){        if(T>-1E9){            T+=now;            //cout<<now<<" ";            if(T>1E8)T=-1E9;        }        return;    }    dfs(x+1,now);    for(int i=sum[x];i--;)dfs(x+1,now*=pri[x]);}int work(int x){    tot=0,T=-x;    //cout<<x<<":";    for(int i=1;i<prime[0]&&prime[i]*prime[i]<=x;++i)        if(x%prime[i]==0){            pri[tot]=prime[i],sum[tot]=0;            for(;x%prime[i]==0;x/=prime[i])++sum[tot];            ++tot;        }    if(x!=1)pri[tot]=x,sum[tot++]=1;    dfs(0,1);    //cout<<"->"<<T<<endl;    return T;}int main(){    freopen("amicable.in","r",stdin);    freopen("amicable.out","w",stdout);    int i,j;    prime[0]=1;    for(i=2,j;i<MAXN;++i){        if(~p[i])prime[prime[0]++]=i;        for(j=1;j<prime[0]&&i*prime[j]<MAXN;++j){            p[i*prime[j]]=1;            if(i%prime[j]==0)break;        }    }    int A,B,x,ans,Ans=0;    scanf("%d%d",&A,&B);    for(j=A;j<=B;++j){        //cout<<"-------"<<j<<"---------\n";        ans=work(j);        if(ans>j&&work(ans)==j)++Ans;    }    printf("%d\n",Ans);}

代码（解法二）：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;#define MAXN 10000int prime[100000];#include<bitset>#include<iostream>bitset<MAXN> p;typedef long long LL;int work(int x){    LL ans=1;    int sum,X=x;    for(int i=1;i<prime[0]&&ans&&prime[i]*prime[i]<=x;++i)        if(x%prime[i]==0){            sum=1;            for(;x%prime[i]==0;x/=prime[i])sum*=prime[i];            ans*=((LL)prime[i]*sum-1)/(prime[i]-1);            if(ans>1E9)ans=0;        }    if(x!=1){        ans*=(x+1);        if(ans>1E9)ans=0;    }    return ans-X;}int main(){    freopen("amicable.in","r",stdin);    freopen("amicable.out","w",stdout);    int i,j;    prime[0]=1;    for(i=2,j;i<MAXN;++i){        if(~p[i])prime[prime[0]++]=i;        for(j=1;j<prime[0]&&i*prime[j]<MAXN;++j){            p[i*prime[j]]=1;            if(i%prime[j]==0)break;        }    }    int A,B,ans,Ans=0;    scanf("%d%d",&A,&B);    for(j=A;j<=B;++j){        ans=work(j);        if(ans>j&&work(ans)==j)++Ans;    }    printf("%d\n",Ans);}

这道题主要的收获是：
①算明白了分解质因数的最坏时间复杂度：O(N12lnN12+log2N)//QAQ以前一直不会算真是呵呵。
②明白了积性函数的求解实际上就是分解质因数。（不一定要用线筛求，视情况而定）