浅谈多重背包

多重背包，基础背包问题之三。


具体问题是这样的。一个容量为V的背包，还有一些物品（每个物品有具体的数量c），这些物品的体积w和价值p各不相同。求出能在不超过V的情况下尽可能的使价值最大。


对于多重背包问题，可以根据每个物品的数量分解成两种情况：
1.当c >= V / w时，相当于物品可以无限使用，即转化为完全背包求解。
2.当c < V / w时， 可转化为放物品的数量为1、2、3……c个，即转化为01背包求解。


但是上面这种方法的时间复杂度为O(V连加M)，其中M为数量。这个复杂度是很大的，可以用二进制拆分优化一下。


二进制拆分：任何数num都可以拆分为2^k的加和的形式，即：
num = 2^k1 + 2^k2 + …… + 2^kn （其中kn可以取任意非负整数）
这样上面的第二种情况就可以利用这种方法进行优化，使遍历从1、2、3……c优化到1、2、4……2^k，时间复杂度为O(V连加logM)。这种优化程度就可以应对大部分题目了。（当然，对于一些卡时间的题目也不行，需要优先队列优化）。
还有一点，看懂这一点就能看懂二进制优化的核心了。
对于使用二进制拆分成的一组数字：1、2、4、8……，这些数字之间缺少3、5、6、7这样的数字，在遍历的时候没有遍历他们，因为这些数字可以由前面遍历过的数字拼凑合成。比如，3可以由1和2合成，5可以由1和4合成，以此类推。还有，比如，如果最终结果包含5，那在遍历的时候就可能记录1和4，也就是说最终结果是1和4这两件被拆分的物品，最后合到一起就是5了。
就是这种方法，使不用被遍历的数字也能出现在过程中，这就是二进制优化的精髓！


以下为程序流程：
void MultiplePack(int w, int p, int m)
{
if (w * m >= p)
{
CompletePack(w, p);
return;
}
int k = 1;
while (k < m)
{
ZeroOnePack(k * w, k * p);
m -= k;
k *= 2;
}
ZeroOnePack(m * w, m * p);

}

下面附上多重背包的模板：

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;#define MAXL 10001int dp[MAXL], V, n, w, p, m;void ZeroOnePack(int w, int p);void CompletePack(int w, int p);void MultiplePack(int w, int p, int m);int main(){cin >> V >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> w >> p >> m;MultiplePack(w, p, m);}cout << dp[V] << endl;return 0;}void MultiplePack(int w, int p, int m){if (w * m >= p){CompletePack(w, p);return;}int k = 1;while (k < m){ZeroOnePack(k * w, k * p);m -= k;k *= 2;}ZeroOnePack(m * w, m * p);}void ZeroOnePack(int w, int p){for (int j = V; j >= w; j--)dp[j] = max(dp[j - w] + p, dp[j]);}void CompletePack(int w, int p){for (int j = w; j <= V; j++)dp[j] = max(dp[j - w] + p, dp[j]);}