BZOJ 3571 [HNOI 2014] 画框 （KM算法+分治）

题目链接：BZOJ 3571

思路：

用类似于最小乘积生成树求解。
最小乘积生成树：每个点有两个权值x，y，求一棵生成树使得sigma(x[i])*sigma(y[i])最小。
求解方法：

建立平面直角坐标系，将每个点看做坐标(x[i],y[i])。设x[i]*y[i]=k(x[i],y[i]满足大于0)，将x[i]除到等式右边y[i]=k/x[i]，那么可以联想到反比例函数。对于反比例函数，k的绝对值越小，图像越靠近坐标轴。那么可以先分别求出使sigma(x[i])最大的点和使sigma(y[i])最大的点，将两个点连一条线，那么答案是求该直线下一点到这条直线最远的点。

要求距离这条线段最远的点，可以转化为求一点与这条线段的两个端点构成三角形，使得三角形的面积最大。设线段上的两点坐标为A(a.x,a.y)，B(b.x,b.y)，要求的点的坐标为C(c.x,c.y)，那么三角形的面积为AB向量与AC向量的叉积的一半。
S=(b.x-a.x,b.y-a.y)*(c.x-a.x,c.y-a.y)
   =(b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.x-a.y)*(c.x-a.x)
   =(a.y-b.y)c.x+(b.x-a.x)c.y+(a.x-b.x)*a.y+(b.y-a.y)a.x
后面的那一块为常数项，所以不用管。由于叉积为负，有方向，我们要最大化面积，就要最小化(a.y-b.y)c.x+(b.x-a.x)c.y，那么我们只需要提一个负号出来，最大化(b.y-a.y)c.x+(a.x-b.x)c.y。

对于这一道题，我们可以将平凡度看做x坐标，违和度看做y坐标，每一个匹配看做一个点。一开始分别求出使sigma(x)最小和使sigma(y)最小的匹配，然后求在这两个匹配构成的直线下的下凸壳上的一个匹配，使得sigma(x)*sigma(y)最小。根据反比例函数的性质，我们可以证明在线段上面的点不会是最优答案。这样这个问题就相当于之前的那个问题了。求每个匹配用N^3的KM算法求出。对于求下凸壳上的点使答案最优可以由分治求出。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>using namespace std;#define inf (1e8)int N;int A[100][100],B[100][100],W[100][100],visx[100],visy[100],lx[100],ly[100],link[100],slack[100];struct node{int a,b;};inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}bool dfs(int x){visx[x]=1;for(int i=1;i<=N;i++){if(visy[i])continue;int t=lx[x]+ly[i]-W[x][i];if(t==0){visy[i]=1;if(link[i]==-1||dfs(link[i])){link[i]=x; return true;}}else slack[i]=min(slack[i],t);}return false;}node KM(){memset(link,-1,sizeof(link)); memset(ly,0,sizeof(ly));for(int i=1;i<=N;i++)for(int j=1;j<=N;j++)lx[i]=max(lx[i],W[i][j]);for(int i=1;i<=N;i++){for(int j=1;j<=N;j++)slack[j]=inf;while(1){memset(visx,0,sizeof(visx)); memset(visy,0,sizeof(visy));if(dfs(i))break;int d=inf;for(int j=1;j<=N;j++)if(!visy[j])d=min(d,slack[j]);for(int j=1;j<=N;j++)if(visx[j])lx[j]-=d;for(int j=1;j<=N;j++)if(visy[j])ly[j]+=d;else slack[j]-=d;}}int tota=0,totb=0;for(int i=1;i<=N;i++)if(link[i]!=-1){tota+=A[link[i]][i]; totb+=B[link[i]][i];}node x; x.a=tota; x.b=totb;return x;}int ask(node L,node R){for(int i=1;i<=N;i++)for(int j=1;j<=N;j++)W[i][j]=(R.b-L.b)*A[i][j]+(L.a-R.a)*B[i][j];node t=KM();if((t.a==L.a && t.b==L.b) || (t.a==R.a && t.b==R.b))return min(L.a*L.b,R.a*R.b);else return min(ask(L,t),ask(t,R));}int main(){int T=read();while(T--){N=read();for(int i=1;i<=N;i++)for(int j=1;j<=N;j++)A[i][j]=read();for(int i=1;i<=N;i++)for(int j=1;j<=N;j++)B[i][j]=read();for(int i=1;i<=N;i++)for(int j=1;j<=N;j++)W[i][j]=-A[i][j];node L=KM();for(int i=1;i<=N;i++)for(int j=1;j<=N;j++)W[i][j]=-B[i][j];node R=KM();int ans=ask(L,R); printf("%d\n",ans);}return 0;}